设计源于“轻负”，改编呈现“高质”

柳艳秋

[摘 要] 例题在数学教学中起着衔接数学知识与学生的作用，是学生内化数学知识的基础平台. 例题的设计需要本着“轻负”的思想，以让不同学生在自己的“最近发展区”内有所收获；例题的改编需要坚持以学生的思维为主线，让学生的思维驱动例题形式的变化. 无论是设计还是改编，对“轻负”与“高质”的追求，都是建立在数学知识、学生与考试关系平衡的基础之上的.

[关键词] 高中数学；例题设计；轻负；高质

数学教学中，例题发挥的作用堪称巨大，其上承数学新学知识，下启数学知识运用能力的培养. 传统高中数学教学中，数学例题更多来自于教材或高考原卷，这样选择例题的最大好处是指向性强、科学性强，既可以有效深化所学知识，同时又不至于出现各种各样的问题. 近年来，随着高考评价的灵活性不断增强以及考试试题的情境不断丰富，“拿来主义”已经适应不了新的评价要求，于是高中数学教师就面临着例题设计与改编的挑战. 尽管从逻辑上来说，例题设计与改编应当是教师的分内之事，但考虑到知识的覆盖面与对学生的导向性，试题的编与改还是要高度重视的. 考虑到教学的效益，笔者在例题设计与改编中提出“轻负”与“高质”的思路，形成了一些心得.

“轻负”设计，源自对学生认知水平的准确把握

轻负之“负”，自然是指学习负担，而“轻负”自然是指学生的学习负担. 凸显学生意味着抓住了“轻负”之根本，而“轻负”的关键则在于对学生已有认知水平的精确把握，这里不妨借助于最近发展区来理解例题设计之“轻负”：能够让学生在例题解答过程中，通过自身的努力“跳一跳”而“摘得到”的思維负担，是最恰当的思维负担. 当然，这里还要注意不同层次学生的思维能力. 通常情况下，我们都会根据学生的考试成绩而将学生分成学优生、中间生、学困生三个层次，这样的分层简单易行，但其容易掩盖部分学生的思维能力，有些学生并不是因为思维能力差而学困的，而有些学生则是因为学习习惯好、下的功夫多而跻身中间生或学优生的，这里要注意区别对待.

总体而言，在例题设计的过程中，轻负目标的达成可以借助于新课教学中的教学观察来较为准确地判断. 譬如教“圆锥曲线的统一定义”这一内容时，分析知识呈现的顺序可以发现，其是在抛物线定义的基础上向椭圆和双曲线延伸的，是在“平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹”的基础上提出的问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？从学生的思维角度来看，这个问题的提出属于数学上的变式思想，因此学生的学习可以通过演绎思维的方式来完成.

在实际教学中，如果观察到学生在此环节上没有太大的问题，那在给学生提供例题的时候，就可以借助于这样的例题来实施教学：

例1：已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离. （1）求点M的轨迹方程；（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A，B两点，求AB；（3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x1，y1），D（x2，y2），O为坐标原点，证明：OC⊥OD.

变式：已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x1，0），G（x2，0），求线段EG的长度.

这两个例题中分别有两至三个问题，但要注意的是第一个问题都是面向抛物线的，这与教学中知识呈现的顺序是吻合的. 也就是说，圆锥曲线的统一定义生成的过程中，是以抛物线为基础的，而在解题过程中仍然是从这一基础出发的. 在此基础上，抛物线知识可以进一步向其他的知识延伸，那么学生在构建相关知识的时候，知识体系就将更为完善. 基于这样的思考，这里的两个例题的设计与应用思路应当是：第一题教师可选择一重点讲授第一问，然后让学生就另两个问题向其他知识体系延伸；另一题则可以作为巩固性训练. 如果从分层的角度来看，那么第一个问题无疑是基础题，而后面的问题则可以面向中上两个层次的学生. 通过教学实践来看，基本不会给学生形成太大的负担，放在这里是合适的.

研究这个例题可以发现，其与教材上通常提供的例题的区别在于其是用具体的数据代替符号表示的，这可以给部分中等生及学困生带来好处，而在此基础上向符号表示的例题过渡，往往可以取得更好的教学效果.

“高质”改编，需要对考试评价思路进行精加工

改编题已经成为当下高中数学教学研究的一个重要方式，通过试题的改编，可以让教师更好地感知命题意图，从而向学生传递更准确的考查要求. 因此，对试题改编提出“高质”的要求，显然是恰当的. 而高质与否，就要看教师对考试评价思路的把握了.

举个例子，直线方程是高中数学中最简单的知识，不同层次的考试中此知识点相关的试题都是以最简单的形式存在的. 在复习的过程中，这个知识其实是可以不断拓展的. 如以下三个例题：

例1：已知三条直线ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10相交于一点，那么a的值是多少？

例2：已知三条直线ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10将坐标系分成六部分，那么a的值是多少？分成七部分呢？

例3：已知实数x，y，满足x+3y+8>0，4x+3y-10>0，2x-y<10，那么x2+y2的取值范围是多少？

这三个例题中，第一个例题是直接呈现给学生的；第二、三个例题可以在教师的引导下，通过一点点地改动形式呈现在学生的面前：比如在向例2过渡的时候，教师可以提出“同一个问题有没有不同的问法呢”的问题，通过这个问题驱动改后的试题出现；在向例3过渡的时候，教师可以提出“有时候，同一个问题会通过‘面目全非的形式出现在我们的面前”的观点，在学生思考“何以‘面目全非的情况下还能有相同的解题思路”的时候，推出改后的例3.endprint

而从例题本身来看，例1、例2显然是一种形式变换的关系，但学生的思维方式并不完全相同：例1是纯粹的数学思考，而例2实际上是一种数形结合. 不同思维方式下对同一例题进行研究，这也是高中数学教学的基本思路. 而第三个例子算不算改呢？這要看从哪个角度进行理解. 如果从知识点的角度来看，似乎有些牵强；但从学生的思维角度来看，从数学知识考试评价的跨度来看，这其实是一个很好的示例. 例3的解题思路是可以通过将三个不等式转换成同一直角坐标系上的三根直线围成的图形来获得解题思路的，而这一点与例2是有相通的地方的.

更进一步，实际上在教学中是可以引导学生去“改编”题目的，这个改编的过程依然是学生思维的逐步深入. 比如在例1和例2解决好了之后，让学生稍加总结，以发现此类问题解决的一般思路. 当学生意识到数形结合的时候，再引导学生思考：不等式解题中是否存在类似的解题思路？此时学生一般是茫然无措的，教师则需要进一步引导学生的思路以发现同一解题思路下新的题目呈现方式.

在这个改编试题的思路中，教师对考点的把握是一条隐性线索，因为只有教师才能清晰地知道这三者之间的联系，在实际教学中如果直接告诉学生这样的联系，学生有时并不能形成深刻的记忆；反之，如果引导学生在对教师所提供的例题进行递进式的理解，那么学生可以在例题的变式中使得思维步步深入，相对于教师的隐性线索而言，学生对三个例题的感知是一条显性线索. 在这两条线索之下，学生对知识点的掌握是牢固的，结果是“高质”的.

例题设计与改编，追求的是知识与学生的适切性

在笔者对例题的设计与改编的研究中，发现研究思路并不是唯一的，有什么样的研究思路也就有了什么样的研究结果，有了什么样的教学过程. 笔者认为，“轻负”与“高质”一定必须是相对于学生而言的，而不是相对于教师的教学经验而言的. 如果从教师的经验尤其是应试经验出发，那例题的设计与改编极有可能脱离学生的实际，从而造成适切度不够的问题. 而一旦造成这种情形，“轻负”与“高质”就会落空.

同时应当认识到的是，例题的适切性实际上就是学生与知识之间的适切性，是学生理解知识并将知识运用到具体问题情境中这一过程的适切性. 如文章开头所说，只有例题表现出来的难度在学生的最近发展区之内时，才是适切的. 而这离不开教师对学生学习情形的观察与把握.

当然，适切性还有另一层含义不可忽视，即对考试要求的把握. 基于学生实际并不是脱离考试需要，总的来说，轻负与高质还是数学知识、学生、考试之间平衡基础上的轻负与高效，个中技巧，需要在教学实践中具体把握.endprint