线性代数分学院案例式教学研究

郭彦+史玉凤

【摘 要】 线性代数是一门很重要的工科专业必修数学基础课程，随着社会对毕业生实际操作水平和实践能力的逐步提高以及电子计算机的迅速发展，过去注重理论教学的教学模式目前很难适应社会发展的需求。对不同学院学生进行教学过程中，选用不同的案例渗透线性代数概念及知识，为学生进行专业课学习打下一定的数学基础。

【关键词】 线性代数；分学院；案例式教学

【Abstract】 Linear algebra is an important basic course for Engineering Majors. Because of the high quality requirement of actual operation and the rapid development of electronic computers， the teaching mode which focused on theoretical teaching was difficult to meet the needs of social development. For different college students， concepts and knowledge of linear algebra is introduced in different cases. This method lays a certain mathematical foundation for students to study in specialized courses.

【Key Words】 linear algebra； collage-based； case teaching

【中圖分类号】 O151.2 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2017）17-00-02

一、引言

线性代数具有概念众多，基本定义、定理多，内容涉及多维问题使得知识点相对抽象难于理解，并且涉及到的计算都是计算量很大等特点[1]。案例教学法是一种以案例为基础的教学法，这一教学法能鼓励学生积极参与讨论[2]。本文讨论将线性代数课程采用分学院基于背景案例教学的模式，在线性代数课程讲授过程中选用具有学院特色的案例，加强学生的线性代数应用与计算能力的培养。

二、计算机科学与技术学院

1.矩阵——计算机图形

计算机图片可以用矩阵表示，进行图片颜色改变时，可用到分块矩阵知识。图片的缩放变化用到对角矩阵和矩阵乘法知识，图片的平移变换用到矩阵加法，图片的旋转变换用到矩阵乘积的知识。人体经络可视化需要将图像由三维变化到二维，变化过程中也需要用到矩阵知识[3]。航空发动机叶片形状复杂，在其上用激光加工孔洞过程中也需要用到图形变换，与矩阵知识相关性甚大[4]。

2.向量夹角——Internet网络

网络服务器根据文档间的相似程度、相关程度进行分类。文档分类可通过以下方法实现，将文档关键词进行数字化、归一化，得到向量，将向量间向量夹角进行比较，向量夹角越小，文档近似程度越高。

三、物理学院

1.空间解析几何——加速度、受力分析、轨迹确定

加速度的确定与空间解析几何知识相关，由于物体加速度是位移的关于时间的二阶导数，所以将位置与时间的关系式对时间进行二次求导，即得物体在各方向上的加速度。

分析两条等长的绳子挂一件物体受力，根据向量的平行四边形法则、力的平衡及三角形知识可分析出不同夹角情况下，绳子的受力，分析出夹角与拉力之间的关系，得出何时最省力。同样可分析成人拉小孩胳膊离地是否会拉伤，进行引体向上运动时手如何放置最佳？

轮船在河水中的运动轨迹受船行速度、方向及水流速度、方向的影响，画出速度矢量图，根据向量的平行四边形法则，即可确定轮船的运动轨迹。

2.向量、矩阵、线性变换——物理电路

基尔霍夫定律可与矩阵、向量知识相结合，进行电路分析。首先根据函数关系，确定系数矩阵，再确定矩阵的特征值、特征向量和特征函数，最后通过线性组合确定电压和时间的关系。

3.分块矩阵——卫星轨道

为了比较卫星在不同时间的位置与计划轨道进行比较，需要用到雷达数据。雷达给出的数据很大，矩阵需要在分析数据时计算出来，当雷达数据到达时，新的必须计算出来，由于数据庞大，计算负担重，计算过程中可用到分块矩阵的知识。

四、管理学院

1.矩阵——销售及成本管理、成绩管理、航班计算

矩阵加法及数乘等计算可进行销售额、成本等计算及学生成绩管理。例、已知上半年销售情况和下半年销售情况，通过矩阵加法可得全年总销售情况。

将各学生的各项成绩写出矩阵形式，运用矩阵数乘计算，各项成绩乘以相应的比例系数，再相加，即可获得各学生的总成绩。

图论在航班设置及选择上的应用十分重要。航班城市作为顶点，顶点间由有向边、双向边连接，构成有向图和无向图。通过航班图信息，列出航线矩阵，可得出能够直接到达的城市、一次转机能到达的城市、二次转机能到达的城市。

2.向量空间、线性变换、特征值——人口迁徙

人口迁移问题与线性代数的向量、线性变换、特征值等知识相关。已知城市、农村的人口数量和迁移规律，将初始数据和迁移规律写成向量形式，二者相乘，即可得后来各年各地的人口数目。人口迁移问题也可由矩阵乘法来进行，将市区与郊区的迁移规律写出矩阵形式，通过线性变换、特征值、特征向量获得若干年后市区和郊区的人口情况，并用数学知识分析通过人口迁移能不能实现人口均匀分布，为什么。

3.线性方程组、向量——交通流、公共自行车管理endprint

交通流调整、控制、管理等问题中应用到线性代数中的线性方程组、向量等知识。首先实地记录进出口车流量，根据交通图及节点流量守恒等列出各节点的流量方程，根据线性方程组特点计算各路段车流量，分析哪段路车流量最大。

公共自行车的取还、停车等宏观调控需用到线性代数中的向量知识。首先统计各站点的借还信息，通过向量分析各站点的归还情况，分析比较繁忙的站点，进而对公用自行车进行管理。

五、能动学院

传热问题的数值计算中会用到线性方程组知识。如钢板温度确定问题。分析钢板热传导物体特点，得出传热过程中的几何条件、物理条件、边界条件和初始条件，根据热平衡方法或泰勒级数展开法建立离散方程，然后根据线性方程组求解方法即得各节点的温度值。

六、力学与土木工程学院

1.矩阵——梁的变形

进行简单梁受力分析过程中，根据胡克定律，可写出力与形变之间的关系，即y=Df，其中D为柔度矩阵，其逆为刚度矩阵。根据胡克定律、矩阵、求逆、矩阵乘法等即可分析挠度、受力大小、受力方向等，可分析刚度矩阵中负值元素，出现负值的原因等。

2.向量、线性方程——混凝土配料

混凝土配比分析过程如下：将基本类型写成基向量形式，待配混凝土为合成向量，根据向量空间知识分析基向量构成的向量空间的维数，然后加入合成向量看维数是否增加？通过分析可知什么要求的混凝土可以配出，什么要求的不能配出。

七、信息与控制工程学院

1.矩阵的逆——保密编译

根据要发的明文，写出其矩阵，为了保证安全，需要对明文进行加密，即用密码矩阵左乘明文矩阵，即可得到密文矩阵。获得密文后需要对密文进行解密，即用密文矩阵左乘密码矩阵的逆。根据矩阵及矩阵逆的知识也可进行密码矩阵的确定。

2.向量——数字通信统计

在数字通信统计过程中会用到向量知识，如人们收看两个电视台节目，每逢整点插播广告，接受一台节目的a%的人改看二台，b%接受二台节目的人改看一台，估算某一时刻各台收看人数用向量及向量空间即可获得。此方法在人口迁徙分析中也能用到。

八、结论

探讨和研究了对分学院模式下的线性代数采用科学计算结合案例教学法进行教学。很多学院或学院中突出专业所研究的问题，都与线性代数知识相关，如计算机学院的计算机图形、Internet网络，物理学院的受力分析、轨迹确定、电路分析，化工学院的化学方程式配平，生命学院的生态问题，管理学院的成本等管理、航班计算、人口迁徙、流量分配，能动专业的热传导问题，力学与土木工程学院的梁的变形、混凝土配比，信控学院的保密编译、通信统计等问题。

参考文献：

[1]江龙，程林凤，胡建华.线性代数[M].高等教育出版社，2012.

[2]李政辉.案例教学法探源[J].中国大学教学，2009（9）：89-92

[3]李鹏锋，陈新.基于图形变换的人体经絡可视化[J].计算机应用，2011，31（11）：3035-3037.

[4]胡忠恒，李坤.图形变换的矩阵方法在激光加工中的应用[J].航空制造技术，1992（4）：37-38.endprint