同余定理在小学数学竞赛中的应用

肖丽

【摘要】本研究基于高观点视角，例析同余定理在小学数学竞赛中的应用，探讨运用其解决小学奥数问题的优越性。

【关键词】小学数学竞赛 同余定理 应用

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）40-0114-02

同余定理是初等數论中的重要内容，其不仅为公开密钥体质的建立做了重要的理论基础，同时在生活中也具有广泛应用。因此同余定理在各级各类数学竞赛中备受青睐，特别是在小学数学竞赛中，运用同余定理能优化解题思路，使问题解决思路简单化。

一、同余定理概述

1.同余定理。同余的定义：给定一个正整数m，把它叫作模。如果用m去除任意两个整数a和b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a≡b（modm）。如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作a？堍b（modm）。

2.同余的有关性质。根据同余的定理，可获得如下性质：

性质1：若a≡b（modm），c≡d（modm）；则a±c≡b±d（modm）。

性质2：若a≡b（modm），c≡d（modm）；则a×c≡b×d（modm）。特殊情况，当a=c，b=d时，a2≡b2（modm），由此可以延伸到an≡bn（modm）。

性质3：a≡b（modm），则an≡bn（modm）。一般的，若ax≡b（modm），ay≡c（modm），则有ax+y≡bc（modm）。

性质4：若a1≡b1（modm），a2≡b2（modm），….，an≡bn（modm），则a1+a2+…an≡b1+b2+…bn（modm）。（性质7可以看成是性质2的一个延展。）

在同余中还有一个非常重要的定理——费尔马小定理。费尔马小定理：如果p是素数，a是自然数，且（a，p）=1，则ap-1≡1（modp）。考生们在记忆这些性质时，可以用螺旋上升的方式来记忆。接下来我们就利用这些性质来解决相关的竞赛题目，从定义出发，充分利用性质，由此来巩固对同余的记忆。

二、例析同余定理在小学数学竞赛中的运用

例1：512×321+891×53-611×29除以13的余数是多少？

解析：该例题是性质4和性质5的混合运用。

解：已知512≡5（mod13），321≡9（mod13），891≡7（mod13），

53≡1（mod13），611≡0（mod13），29≡3（mod13）

所以原式≡5×9+7×1-0×3≡45+7-0≡52（mod13）≡0（mod13）

即512×321+891×53-611×29除以13的余数是0。

这一类的题目，如果直接计算，除了计算量大以外，还容易由计算错误。如果直接运用同余的定理就要简单许多。考生需要注意的是对公式的运用，分清楚a，b和模m。在解题过程中还需要注意的是，余数相乘后所得到的数如果比m大，那就还需要再做一次同余，并且需要注意能整的特殊情况。

例2：自然数26520、24903、24177除以m的余数相同，则m的最大值是多少？

解析：该题主要涉及到了性质4以及最大公约数的相关性质。

解：因为26520≡24903≡24177（modm）所以m|24903-24177=726=2×3×112

m|26520-24903=1617=3×72×11m|26520-24177=2343=3×11×71

显然m应该是这三个数的公约数，所以m的最大值为3×11=33。

该类题目在解题时是不能直接计算的，它的解题过程充分利用了同余的性质，既简便了计算过程，也强化了性质的延伸理解。

例3：今天是星期二，再过200200天是星期几？

解析：该例题运用的是费马小定理，如果经过的天数比较小的话可以直接运用同余的性质直接计算。

解：因为7是质数。且6=7-1，所以由费马小定理知：

200200≡2006×33+2≡（2006）33×2002≡133×2002（mod7）

又因为2002≡2（mod7）所以200200≡133×2≡2（mod7）

因为今天是星期二，所以再过200200天是星期四。

这一类题目还有其他的表达方式，如“200200除以7的余数是多少？”。在解题过程需要理解题意，注意明确周期数，最后利用同余的性质求出余数。

例4：求5555+6666+8888-9999的个位数字。

分析：该例题除了同余的计算外，最主要的是自然数an的个位数字的变化规律。

a4k+1≡a（mod10）、a4k+2≡a2（mod10）、a4k+3≡a3（mod10）、a4k≡a4（mod10）

解：因为5555≡553≡53≡5（mod10），6666≡662≡62≡6（mod10），

8888≡884≡84≡6（mod10），9999≡993≡93≡9（mod10），

所以，原式≡5+6+6-9≡8（mod10）即5555+6666+8888-9999的个位数字为8。

本例是利用同余求自然数的个位数字。求自然数的各位数字就是求该自然数除以10的余数，即求自然数模10和哪个一位数同余就行了。需要强调的是所模的数永远是10。这一个题综合同余的性质以及自然数的个位数的性质，比较全面，所以对于考生而言有一定的难度。

三、总结

在本文中通过对同余的定义和性质的介绍，以及对几类例题的求解，能让考生对同余有了进一步的总结和认识。但同余的题目千变万化，考生只有掌握了同余的本质，才能有效的解决各类题目。在学习的过程中，由于题目的趣味性，能激发学生探究数学的兴趣，不再是只为解决题目而学习，而是因兴趣而学习。

参考文献：

[1]闵嗣鹤.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张亚芳.同余定理在数学竞赛中的应用[J].数学学习与研究，2008（2）.

[3]凌科.小升初奥数精要15讲[M].北京：中国石化出版社，2006.