APP下载

同余定理在小学数学竞赛中的应用

2017-11-17肖丽

课程教育研究·上 2017年40期
关键词:应用

肖丽

【摘要】本研究基于高观点视角,例析同余定理在小学数学竞赛中的应用,探讨运用其解决小学奥数问题的优越性。

【关键词】小学数学竞赛 同余定理 应用

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)40-0114-02

同余定理是初等數论中的重要内容,其不仅为公开密钥体质的建立做了重要的理论基础,同时在生活中也具有广泛应用。因此同余定理在各级各类数学竞赛中备受青睐,特别是在小学数学竞赛中,运用同余定理能优化解题思路,使问题解决思路简单化。

一、同余定理概述

1.同余定理。同余的定义:给定一个正整数m,把它叫作模。如果用m去除任意两个整数a和b所得的余数相同,我们就说a,b对模m同余,记作a≡b(modm)。如果余数不同,我们就说a,b对模m不同余,记作a?堍b(modm)。

2.同余的有关性质。根据同余的定理,可获得如下性质:

性质1:若a≡b(modm),c≡d(modm);则a±c≡b±d(modm)。

性质2:若a≡b(modm),c≡d(modm);则a×c≡b×d(modm)。特殊情况,当a=c,b=d时,a2≡b2(modm),由此可以延伸到an≡bn(modm)。

性质3:a≡b(modm),则an≡bn(modm)。一般的,若ax≡b(modm),ay≡c(modm),则有ax+y≡bc(modm)。

性质4:若a1≡b1(modm),a2≡b2(modm),….,an≡bn(modm),则a1+a2+…an≡b1+b2+…bn(modm)。(性质7可以看成是性质2的一个延展。)

在同余中还有一个非常重要的定理——费尔马小定理。费尔马小定理:如果p是素数,a是自然数,且(a,p)=1,则ap-1≡1(modp)。考生们在记忆这些性质时,可以用螺旋上升的方式来记忆。接下来我们就利用这些性质来解决相关的竞赛题目,从定义出发,充分利用性质,由此来巩固对同余的记忆。

二、例析同余定理在小学数学竞赛中的运用

例1:512×321+891×53-611×29除以13的余数是多少?

解析:该例题是性质4和性质5的混合运用。

解:已知512≡5(mod13),321≡9(mod13),891≡7(mod13),

53≡1(mod13),611≡0(mod13),29≡3(mod13)

所以原式≡5×9+7×1-0×3≡45+7-0≡52(mod13)≡0(mod13)

即512×321+891×53-611×29除以13的余数是0。

这一类的题目,如果直接计算,除了计算量大以外,还容易由计算错误。如果直接运用同余的定理就要简单许多。考生需要注意的是对公式的运用,分清楚a,b和模m。在解题过程中还需要注意的是,余数相乘后所得到的数如果比m大,那就还需要再做一次同余,并且需要注意能整的特殊情况。

例2:自然数26520、24903、24177除以m的余数相同,则m的最大值是多少?

解析:该题主要涉及到了性质4以及最大公约数的相关性质。

解:因为26520≡24903≡24177(modm)所以m|24903-24177=726=2×3×112

m|26520-24903=1617=3×72×11m|26520-24177=2343=3×11×71

显然m应该是这三个数的公约数,所以m的最大值为3×11=33。

该类题目在解题时是不能直接计算的,它的解题过程充分利用了同余的性质,既简便了计算过程,也强化了性质的延伸理解。

例3:今天是星期二,再过200200天是星期几?

解析:该例题运用的是费马小定理,如果经过的天数比较小的话可以直接运用同余的性质直接计算。

解:因为7是质数。且6=7-1,所以由费马小定理知:

200200≡2006×33+2≡(2006)33×2002≡133×2002(mod7)

又因为2002≡2(mod7)所以200200≡133×2≡2(mod7)

因为今天是星期二,所以再过200200天是星期四。

这一类题目还有其他的表达方式,如“200200除以7的余数是多少?”。在解题过程需要理解题意,注意明确周期数,最后利用同余的性质求出余数。

例4:求5555+6666+8888-9999的个位数字。

分析:该例题除了同余的计算外,最主要的是自然数an的个位数字的变化规律。

a4k+1≡a(mod10)、a4k+2≡a2(mod10)、a4k+3≡a3(mod10)、a4k≡a4(mod10)

解:因为5555≡553≡53≡5(mod10),6666≡662≡62≡6(mod10),

8888≡884≡84≡6(mod10),9999≡993≡93≡9(mod10),

所以,原式≡5+6+6-9≡8(mod10)即5555+6666+8888-9999的个位数字为8。

本例是利用同余求自然数的个位数字。求自然数的各位数字就是求该自然数除以10的余数,即求自然数模10和哪个一位数同余就行了。需要强调的是所模的数永远是10。这一个题综合同余的性质以及自然数的个位数的性质,比较全面,所以对于考生而言有一定的难度。

三、总结

在本文中通过对同余的定义和性质的介绍,以及对几类例题的求解,能让考生对同余有了进一步的总结和认识。但同余的题目千变万化,考生只有掌握了同余的本质,才能有效的解决各类题目。在学习的过程中,由于题目的趣味性,能激发学生探究数学的兴趣,不再是只为解决题目而学习,而是因兴趣而学习。

参考文献:

[1]闵嗣鹤.初等数论[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]张亚芳.同余定理在数学竞赛中的应用[J].数学学习与研究,2008(2).

[3]凌科.小升初奥数精要15讲[M].北京:中国石化出版社,2006.

猜你喜欢

应用
配网自动化技术的应用探讨
带压堵漏技术在检修中的应用
行列式的性质及若干应用
癌症扩散和治疗研究中的微分方程模型
红外线测温仪在汽车诊断中的应用
多媒体技术在小学语文教学中的应用研究
微课的翻转课堂在英语教学中的应用研究
分析膜技术及其在电厂水处理中的应用
GM(1,1)白化微分优化方程预测模型建模过程应用分析
煤矿井下坑道钻机人机工程学应用分析