加权最小二乘恒定阻带响应空域矩阵滤波器设计方法

依力娜艾克拜+李克文+韩东

摘 要：文章针对现有恒定阻带响应空域矩阵滤波器设计效率低，不适用于快速阵列数据处理要求的问题，提出在最小二乘空域矩阵滤波器设计基础上，采用对通带响应误差和阻带响应加权的方式，实现恒定阻带抑制型空域矩阵滤波器。仿真结果表明，文章采用的设计方法，可以产生接近于恒定阻带抑制效果的滤波器，设计效率较高。

关键词：空域矩阵滤波器；最小二乘；加权最小二乘

中图分类号：TP911.9 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2017）33-0113-02

1 概述

空域矩阵滤波技术可用于阵列数据处理，通过设计不同的通带和阻带方式，保留通带信号，滤除阻带干扰，是一种新兴的阵列数据处理技术，在声纳信号处理的应用中产生了较大的效益[1-3]。

空域矩阵滤波器设计方法中，最小二乘[4]、零点约束[5]和通带零响应误差约束、阻带响应、通带响应误差总体约束、双边阻带总体响应约束空域矩阵滤波器可直接通过阵列流形矩阵获得，或求解一至两个方程获得，其设计效率较高。而恒定阻带响应约束空域矩阵滤波器由于要限制阻带响应或通带响应误差的最大值都小于某特定约束值，所建立的最优化问题不能直接给出最优解，需要借助复杂的最优化理论和算法求解，计算复杂，不利于实时空域矩阵滤波器设计[6-8]。而恒定阻带型空域矩陣滤波器具有阻带约束恒定的特点，可以实现阻带任意方位的相同阻带信号抑制，具有较大的实用价值。因此探索新的设计方法，快速有效的实现恒定阻带抑制能力，是空域矩阵滤波器设计领域必须解决的问题。

本文将采用响应加权的方式设计空域矩阵滤波器，这种空域矩阵滤波器设计方法可以通过对通带误差、阻带相应设置相应加权值得的方式，获得所需的恒定阻带响应等滤波效果。通过仿真分析可以发现，这种建立在最小二乘滤波器基础上的设计方法设计效率较高，可以满足实际信号处理要求。

2 加权最小二乘空域矩阵滤波器设计方法

线列阵阵元数目为N，假设具有相同的角频率？棕0的D个窄带平面波信号源，从D个方向？兹=[？兹1，？兹2，…，？兹D]入射到该基阵，则接收阵采样信号表示为：

x（t）=A（？兹）s（t）+n（t）

式中x（t）=[x1（t），…，xN（t）]T，s（t）=[s1（t），…，SD（t）]T是D个具有相同角频率？棕0的信号源，n（t）=[n1（t），…，nN（t）]T是阵列接收数据的背景噪声，A（？兹）∈CN×D是由入射信号方向向量所构成的矩阵，A（？兹）=[a（？兹1），…，a（？兹i），…，a（？兹D）]，a（？兹i）=[1，e，…，e]T∈CN是第i个信号的入射方向向量，（·）T表示矩阵转置。

设计矩阵滤波器H∈CN×N对接收阵列数据进行阵元域滤波，滤波输出为：

y（t）=HA（？兹）s（t）+Hn（t） （1）

假设空域离散化数目为M，每个方位的方向向量为a（？兹m），m=1，…，M期望响应向量为b（？兹m）。为使该矩阵滤波器保留通带的信号，滤除阻带的噪声，则理想的矩阵滤波器应该满足：

（2）

其中？专P，？专S分别表示通带和阻带空间入射方位角集合。

空域矩阵滤波器对阵列信号的实际响应和期望响应之间的误差由下式给出。

（3）

利用实际响应和期望响应的误差，构造加权型最优化问题如下。

最优化问题1：

其中，w（？兹m）是每个方向向量的响应加权系数。

由最优化的理论可知，当w（？兹m）取较小值时，Ha（？兹m）-b（？兹m）对J（H）的贡献较小，反之，则对J（H）的影响较大。随着w（？兹m）取值的增加，w（？兹m）Ha（？兹m）-b（？兹m）的值随之增加，导致J（H）的增加。此时要获得最优空域矩阵滤波器，则必然需要在所有的响应误差间获得平衡，大的w（？兹m），必然会获得矩阵滤波器在？兹m位置较小的响应误差值。因此，可以通过调节该系数即可实现对目标函数的最优值调节，从而调节空域矩阵滤波器的响应效果。

构造Lagrange函数求解最优化问题1：

（5）

上式中构造了矩阵：

对J（H）求关于矩阵H*的偏导数，并令之为零，以获得最优滤波器的解。

（6）

得到

（7）

3 加权空域矩阵滤波器仿真

针对等间隔线列阵半波长频率设计空域矩阵滤波器，即阵元间隔为半波长。阵元数目N=30，通带为[-15°，15°]，阻带为[-90°，-20°）∪（20°，90°]，通带和阻带离散化采样间隔0.1°，不考虑过渡带的响应。图1给出了最小二乘空域矩阵滤波器的设计效果，最小二乘型空域矩阵滤波器设计方法是加权型设计方法的特例，可以认为此时的加权系数为各个探测方位均为恒定值1。

图2给出了对通带响应误差、阻带响应分别施加不同权值的滤波器设计效果。此时的通带响应误差由图2（b）可知，约等于恒定值-20dB。阻带响应由图2（a）可知，也约等于恒定值-20dB。此时通带、阻带加权系数由图3给出。

4 结束语

因此，对于加权最小二乘矩阵滤波器设计而言，只要通过设计合适的通带响应误差、阻带响应加权值，即可设计出具有恒定阻带响应约束效果的滤波器。这种滤波器的设计运算量与最小二乘方法没有本质区别，仅需在最小二乘设计方法基础上，与加权矩阵相乘即可。因此，相对于现有的恒定阻带抑制空域矩阵滤波器设计效率而言，本文所用的设计方法，设计效率更高。

参考文献：

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design. IEEE Trans. Signal Processing，1996，44（3）：705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression. J Acoustic Soc Am，2004，115（6）：3010-3020.

[3]鄢社锋，侯朝焕，马晓川.矩阵空域预滤波目标方位估计[J].声学学报，2007，32（2）：151-157.

[4]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）：488-497.

[5]韩东，章新华.零点约束矩阵滤波设计[J].声学学报，2010，35（3）：353-358.

[6]苏帅，冯杰，孙超.空域预滤波的稳健自适应波束形成方法[J].声学技术，2008，27（1）：9-13.

[7]Hassanien A， Elkader S A， Gershman A B， et al. Convex optimization based beam-space preprocessing with improved robustness against out-of-sector sources. IEEE Trans. Signal Processing，2006，54（5）：1587-1595.

[8]Zhu Z W，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation. IEEE Trans. Signal Processing，2000，48（1）：267-271.endprint