离散时间下可多重休假的冷贮备可修系统的可靠性分析

张娜+刘亚春

摘 要：在时间参数为离散的条件下，研究修理工可多重休假和转换开关完全可靠的两不同型部件的冷贮备可修系统。假设两不同部件的寿命均服从几何分布、修理工的维修时间和休假时间均服从一般离散型分布，引入三维离散向量，建立新的马尔科夫过程，建立模型，并利用Z变换进行求解，求得系统的稳态可用度、稳态失效频度、稳态等待维修概率、稳态修理工空闲的概率和休假概率、可靠度和首次平均故障前时间。

关键词：离散时间；多重休假；离散向量；Z变换

中图分类号：O21 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2017）33-0033-04

引言

在实际工作和工程實践中，人们会经常定期检测系统、维修或更换部件，因此部件的寿命和维修时间等统计量并非是连续的随机变量，而应看作非负整数值的离散型随机变量序列[1]。此外，贮备系统在可修系统中是很重要的一类系统，分为温贮备和冷贮备，冷贮备是指在贮备期间部件不会发生恶化和贮备故障，贮备部件的更换是通过转换开关瞬间完成的。在上述模型基础上，再结合上修理工可多重休假将更符合实际情况。目前，诸多学者对连续型时间的可修系统研究得更加透彻，对于离散型时间的可修系统研究得较少。针对离散型时间的不可修系统，C. Bracquemond[2]对离散时间的不可维修系统的可靠性进行了综述。针对离散时间的可维修系统，杨懿、王立超等人[3-5]利用Markov更新过程和随机过程，建立了系统状态转移模型，分别研究了离散时间下单部件可修系统、修理延迟的单部件可修系统和串联可修系统，他们的研究拓宽了离散时间下的可靠性理论。余 妙[6]和姜红燕[7]利用补充变量法和Z变换，分别研究了离散时间下单重休假的可修系统、单重休假的温贮备系统，为离散时间下的可修系统提供了一种较好的思路。

鉴于前人的文献，本文对离散时间下可多重休假的两不同部件冷贮备系统进行研究，提出了三维离散向量，分析系统的状态转移关系，建立模型，该研究更加丰富和完善了离散时间下可修系统的可靠性理论。

1 模型假设

（1）系统由两个不同部件、一个修理工和一个完全可靠的转换开关组成。当且仅当系统中至少有一个部件工作时，系统可正常工作，否则，系统失效。

（2）两个部件的寿命？孜分别均服从参数为qi的几何分布，即

（3）两个部件在冷贮备期间，既不会发生贮备故障、也不会恶化。

（4）两个部件因工作发生故障的维修时间？浊均服从一般离散分布，即

记其母函数 ，平均维修时间 。

令 ，定义维修工单位时间内的修复率？子k为

其中可知 。

（5）在初始时刻，两个部件均是正常工作的，其中一个部件工作，另一个部件处于冷贮备状态，修理工开始休假，当一次休假结束后，若系统中的两个部件，一个正常工作，一个仍处于冷贮备状态，那么修理工将继续进行下一次休假；当系统中至少有一个部件出现故障，修理工结束休假后，立即工作，对故障部件进行维修，其中遵循先坏先修的原则，且故障部件均可修复如新。设修理工的休假时间？酌服从一般离散分布，即

记其母函数 ，平均休假时间 。

令 ，定义修理工单位时间内的休假结束率vk为

其中可知 。

（6）当一个工作部件发生故障后，通过转换开关，冷贮备部件立即工作。当冷贮备部件也发生工作故障时，若前一个故障部件已修复如初，通过转换开关，立即替换故障部件正常工作；若前一个故障部件还没修复或修复未完成，则冷贮备部件等待修理，系统处于故障状态。

（7）两部件的寿命、修理工的维修时间和休假时间均相互独立。

2 系统状态分析

根据模型假设，可知系统共有9个不同的状态：

状态0：k时刻，部件1在工作，部件2冷贮备，修理工休假，系统工作。

状态1：k时刻，部件2在工作，部件1冷贮备，修理工休假，系统工作。

状态2：k时刻，部件1在工作，部件2发生故障，修理工休假，系统工作。

状态3：k时刻，部件2在工作，部件1发生故障，修理工休假，系统工作。

状态4：k时刻，部件1和2均发生故障，修理工休假，系统故障。

状态5：k时刻，部件1在工作，部件2在修理，系统工作。

状态6：k时刻，部件2在工作，部件1在修理，系统工作。

状态7：k时刻，部件1在修理，部件2在等待修理，系统故障。

状态8：k时刻，部件2在修理，部件1在等待修理，系统故障。

在上面的9个状态中，系统的状态集E={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，其中系统工作的状态集W={0，1，2，3，5，6}，系统故障的状态集F={4，7，8}。用N（k）表示系统在时刻k（k=0，1，2，…） 所处的状态，很明显，N（k）是随机过程，是非Markov过程。我们引入离散向量，即补充变量法：当N（k）=0，1，2，3，4时，X（k）表示在k时刻修理工在一次休假中已用掉的休假时间，X（k）=0，1，2，…；当N（k）=5，6，7，8时，Y（k）表示在k时刻部件已修理的时间，Y（k）=0，1，2，…

可知{N（k），X（k），Y（k）}构成一个新的马尔科夫过程，则系统在时刻k的状态概率：

3 相关状态方程及其相关解

根据对上述模型一步转移概率的分析，可得各状态概率间的差分方程

（1）

（2）

边界条件：

（11）

初始条件：

P0（0，0）=P1（0，0）=1，其他值均为零。

对（1）～（16）左右两端同时进行Z变换，可得endprint

（20）

（25）

（26）

（28）

（17）式经迭代可得

（18）式经迭代可得

（22）式经迭代可得

（23）式经迭代可得

由（19）、（28）、（34）式可得

（37）

由（20）、（28）、（33）式可得

由（21）、（28）、（34）、（37）、（38）式可得

由（26）、（35）式可得

由（40）、（35）式可得

由（27）、（36）式可得

由（36）、（42）式可得

由（31）、（33）、（36）、（38）、（39）式可得

由（25）、（35）、（41）、（42）式可得

由（32）、（34）、（35）、（37）、（39）式可得

由（25）、（35）、（40）、（44）式可得

由（29）～（38）、（40）～（47）可得

其中

其中

4 系统的可靠性分析

4.1 系统的可用度

记系统在k（k=0，1，2，…）时刻的可用度为A（k），则有

对A（k）左右两端进行Z变换，

则系统的稳态可用度

4.2 系统等待修理的概率

记系统等待修理的概率为P（k），有

对P（k）两端进行Z变换，

系统处于平稳状态时，其等待修理的概率为

4.3 修理工休假的概率

记修理工的休假概率为V（k），则有

对V（k）左右两端进行Z变换，可有

系统处于平稳状态下，其休假概率为

4.4 系统的瞬时故障频度

记系统的瞬时故障频度为Mf（k），则有

对Mf（k）左右两端进行Z变换，

故系统在平稳状态下，其故障频度

4.5 系统可靠度

令上述模型中的故障状态4、7和8为随机过程{N（k），X（k），Y（k）}的吸收态，定义一个新的离散时间过程{（k），（k），（k）}，即可求出系统的可靠度。当（k）=0，1，2，3时，（k）表示在k时刻修理工在一次休假中已用掉的休假时间，（k）=0，1，2，…；当（k）=5，6时，（k）表示在k时刻部件已修理的时间，（k）=0，1，2，…；当（k）=4，7，8时，由于在该状态内，系统终止工作，故不予考虑。定义新的随机过程{（k），（k），（k）}是具有吸收状态的三维离散向量的Markov过程。

利用与第3节同样的处理方法，可得

系统的可靠度为

对R（k）两端进行Z变换，可得

系统的首次故障平均时间

5 结束语

本文的研究考虑了离散时间下的多重休假和开关完全可靠的冷贮备系统，引入了三维离散向量，建立新的马尔科夫过程，并利用Z变换进而求得系统的可靠性指标，其中当修理工的休假？酌服从P{？酌=k}=hk=0，k=1，2，…时，该模型就是离散时间下的两不同型部件的冷贮备可修系统。本文的研究是对已有文献研究成果下对离散时间下的修理工可休假的自然延伸，具有很好的理论价值和实际意义，为实际工作和生产提供了很强的说服力。

参考文献：

[1]曹晋华，程侃.可靠性数学引论[M].北京：高等教育出版社，2006：205-224.

[2]C. Bracquemond， O. Gaudoin. A survey on discrete lifetime distributions[J].International Journal on Reliability，Quality and Safety Engineering，2003，10（1）：69-98.

[3]杨懿，王立超，邹云.离散时间下的单部件可修系统的可靠性分析[J].南京理工大学学报（自然科学版），2008，32（4）：393-396.

[4]杨懿，王立超，邹云.离散时间下串联可修系统的状态转移模型[J].南阳理工学院学报，2009，1（3）：11-13.

[5]杨懿，王立超，邹云.离散时间修理延迟单部件可修系统的可靠性分析[J].系统工程与电子技术，2008，30（5）：987-989.

[6]余 妙，唐应辉，陈胜兰.离散时间单重休假两部件并联可修系统的可靠性分析[J].系统科学与數学，2009，29（5）：617-629.

[7]姜红燕.离散时间单重休假温储备可修系统的可靠性分析[J].淮阴工学院学报，2011，20（5）：1-6.endprint