关于积分变限函数求导数的探讨

纪铭

摘要：本文通过例题解析的形式对高等数学中积分变限函数求导数问题进行分析和总结，希望加深学生对积分变限函数的理解和运用。

关键词：积分变限函数 变限积分 求导

积分变限函数是高等数学中一类具有特殊形式的函数，在证明原函数存在定理和牛顿—莱布尼兹公式定理中占有重要地位。同时积分上限函数又作为一般函数，一般常见题型以求导数为主。

1.知识准备

定理1 如果函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数

在[a，b]上可导，并且它的导数

定理2 如果函数在区间[a，b]上连续，那么函数

就是在区间[a，b]上的一个原函数。

2.例题解析

例1 设连续，则

（A） （B）

（C） （D）

【分析】这是上下限均为已知函数的变限积分，直接由變限积分求导法得。故选A。

例2 设求

【分析】被积函数含自变量，不能直接求导，需要先转化到积分外面去。

对被积函数做恒等变形，配方法得，于是

例3 求

【分析】这是求型的极限。用洛必达法则时就要求变限积分求导数。

3.小结

积分变限函数是以一种新的定义方式出现的函数，在学习难度上较大，但归根结底，积分变限函数的基础是求导数，因此，掌握其求导数的基本方法并加以练习和延拓，必能将积分变限函数掌握。

参考文献：

[1]数学分析[M] 华东师范大学数理系 高等教育出版社 2001

[2]数学辅导全书（数学一）[M] 李正元 李永乐 范培华 中国政法大学出版社 2017endprint