基于改进GM(1,1)模型的轨道不平顺预测

郑 涛，陈 杰

(武汉铁路局 武汉工务大修段，湖北 武汉 430050)

轨道工程

基于改进GM(1,1)模型的轨道不平顺预测

郑 涛，陈 杰

(武汉铁路局 武汉工务大修段，湖北 武汉 430050)

在分析传统灰色GM(1,1)求解过程的基础之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之处，并加以改进，使该模型达到了更高的道路路基沉降预测精度。

轨道不平顺；GM(1，1); 改进；预测

1 改进的GM(1,1)算法

X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定义为一预测对象的原始数据监测采样序列，若ki-ki-1恒定，则称该序列为等间距序列。

为建立灰色预测模型，对该数据序列进行一次累加

X(1)={x(1)(k1)，x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}其中，

(1)

那么，对X(1)可以建立白化微分方程

(2)

式(2)的解为

(3)

(4)

令Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)称(2)式背景值，μ称权系数。

通常，μ取0.5，那么

(6)

那么，(2)式的离散化形式为

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

(8)

其中

Yn=(X(0)(k1)，X(0)(k2)，…，X(0)(kn)T)

求得a之后则易得u。

(3)式离散化后的结果为

(9)

(10)

代入(9)式有

(11)

以上计算求出的是一次累加后的预测值，必须用下式将数据还原为X(0)(k)

(12)

那么，X(0)的预测序列可全部求出。

通过分析灰色GM(1,1)模型及其求结过程，发现存在下列问题。

(1)在GM(1,1)模型中，背景值假定为一次累加序列的紧邻等权生成，即取μ=0.5。但理论上却无法证明μ=0.5时，此模型精度会达到最优。

(2)将X(0)(k1)作为求解白化微分方程的初值，即假定拟合曲线一定会过初值所在的点。但是，按照最小二乘法原理，拟合曲线却并不一定通过原始数据中的某一点，所以将原始数据中的第一点作为求解白化微分方程的初值是没有意义的。

先取μ=0，代入(7)式有

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解

(14)

Bu=0可由μ=0时代入(5)式求出。

(15)

计算(9)式的累减式，可以得到实测序列的估计方程

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式与(16)式中有

(17)

(18)

将(17)式代入，有

(19)

(20)

此时，这个模型的精度最高。将C代入(17)和(18)式，即可求得预测值。再用(15)式计算出在该权重下的S值。

此后，在此基础上增加一个大于0的微小增量，如以0.001为增量逐次增加直到μ=1为止。在这种情况下我们可以得到1 000个权值，取S最小者对应的权值作为最佳权值。最终以此权值作为改进GM(1，1)模型的权值。自此，最优权值和初值已全部取得。

2 预测模型的精度检验

预测模型的模型精度与预测值与实际值的相对误差有关，同时也与方差比c和小概率误差p有关。

模型所生成的序列

那么可以定义残差序列：

ε(0)(k)=ε(1)，ε(2)，…，ε(n)

其中，

3 算例分析

3.1 焦柳线上行K584.0～K584+200区段分析

以武汉铁路局辖内焦柳线上行K584.0～K584+200的TQI检测数据为例，对2014-9-25～2015-9-26期间的TQI检测数据作为数据样本进行预测，取2015-6-24～2015-9-26之间12个实测TQI值与预测值对比，如表1和图1所示。

图1 K584.0～K584+200轨道不平顺 预测效果对比

图2 K584.0～K584+200轨道不平顺预测效果对比

3.2 焦柳线上行K614+100～K614+300区段分析

再以焦柳线上行K584.0～K584+200的TQI检测数据为例，对2014-9-25～2015-9-26期间的TQI检测数据作为数据样本进行预测，取2015-6-24～2015-9-26之间12个实测TQI与预测值对比，如表1和图2所示。

表1 预测结果对比表

根据表1和图1、图2可知，本文预测算法达到了较好的预测精度，相对误差均值分别为1.75%和1.62%，方差比为0.147和0.126，小误差概率为0.987和0.959，精度等级达到I级。

4 结 论

(1)通过构建基于背景值优化和权值选择的改进GM(1,1)模型，将其用于轨道不平顺预测，取得了较好的效果。

(2)对传统的GM(1，1)模型进行了改进，对解决工程领域中常见的预测问题具有广泛的使用价值。

[1] 陈仁朋, 江朋, 段翔,等. 高速铁路板式无砟轨道不平顺下路基动应力的概率分布特征[J]. 铁道学报, 2016, 38(9):86-91.

[2] 许玉德, 李海峰, 周宇. 铁路轨道高低不平顺的预测方法[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2003, 31(3):291-295.

[3] 陈宪麦. 轨道不平顺时频域分析及预测方法的研究[D]. 铁道部科学研究院, 2006.

U212

C

1008-3383(2017)09-0191-02

2017-06-18

郑涛(1973-)，男，湖北襄阳人，助理工程师，从事线路大修管理工作。