线性代数微课设计思想应用于课堂教学的实践与探索

郑莹 王发兴

【摘要】微课以“短而全、简而精”的显著特点促进着互联网时代的教学，通过微课设计，使得抽象难懂的线性代数变得清晰简单，打造出“浅、显、易、趣”的数学课堂，文章以线性代数中“矩阵的相似对角化”微课设计为例，对知识点的教授做作了完美的诠释，通过将微课思想应用于传统教学，极大的提高了课堂教学效果，使得学生提升了本节知识和线代代数思想内涵的理解，同时极大的提升了教师的教学水平。

【关键词】微课；设计；相似对角化；教学

【中图分类号】G642.4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）39-0166-02

一、引言

这是一个互联网的时代，无处不在的网络影响着我们的生活，教育作为兴国之本，也已悄悄融入到互联网的浪潮中。教育是一个系统的工程，上好一堂课、上好一门课，需要教育者付出很大努力；学好一堂课、学好一门课，需要学习者认真的对待。微课是一种符合信息时代和教育教学规律的全新教学形式，适用于新的教学模式，它极其短小，但却富含思想，经过精心设计的微课对于推进教育信息化的内涵发展，变革教师的教学方式和学生的学习方式，促进广大教师的专业成长，具有非常重要的意义。

“线性代数”作为理、工、文、经、管诸学科的重要公共基础数学课，其课程的基本概念、理论和方法较其他数学课程又具有更强的逻辑性和抽象性，定义、定理难以理解，且这是一门富含哲理思想的学科，因此其教学内容更需要精心设计，让学习者能学会其内容方法，并体会其哲理思想，从而将其应用于生活、生产及科学研究中。

二、“矩阵的相似对角化”微课设计

矩阵对角化理论相当于对一类矩阵在相似意义下给出了其最简单的等价形式。可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似等。

1.提出问题：用幂的定义计算一般阶矩阵A的次幂较为困难，但对角矩阵的次幂较为容易，如何较为容易求得？

2.猜想假设：则若，即可得，进而。

注：将矩阵的计算转化为的计算，

3.确定目标：建立一类阶矩阵与对角矩阵的相似关系，并利用这种相似关系求解。

4.给出定义：阶矩阵A可对角化，当且仅当存在可逆矩阵P，使得，P称为相似变换矩阵，为对角矩阵，记作。

5.提出问题：（1）A可对角化的条件是什么？（2）若A可对角化，则P和如何求？

6.分析讨论（重点、难点）

（1）条件分析

①由A可对角化定义出发分析得：

若，则的对角元为A的个特征值，P为A的特征值对应的个线性无关的特征向量构成的矩阵。

②由A有个线性无关的特征向量分析得：

以A的个特征值作为对角元构成对角矩阵，特征值对应的个线性无关的特征向量构成相似变换矩阵P，则有，即A可对角化。

（2）判定定理：

①充要条件：阶矩阵A可对角化当且仅当A有个线性无关的特征向量。

②充分条件：若阶矩阵A有个互不相等的特征值，则A一定可对角化。

（3）求解步骤

①解得特征值；②求的基础解系得属于的特征向量；③A的线性无关特征向量总数=，则可对角化（<则不能）；④若A能对角化，特征值构成，对应基础解系构成P。

7.举例应用

例1.设矩阵A=（1，0，0； -2，5，-2；-2，4，-1），①证明A可对角化；②求相似变换阵矩阵P，使；③求。解：（过程略）

注：通过该题完全演绎对角化的求解判定步骤，并体会化繁为简的思想。

例2.设3阶矩阵的特征值是1，-1，0，对应的特征向量分别为：p1=（1，0，0）T， p2=（0，1， -1）T ， p3=（3，2，-1）T，求矩阵。解：（过程略）

注：通过该题体会何为矩阵的特征值、特征向量，如何利用矩阵特征，反向求出矩阵，从而体验出利用事物特征去描述事物的思想。

8.归纳总结：（1）阶矩阵A不一定都能对角化；（2）对角化充要条件、充分条件，以及求解步骤；（3）“变难为易”求解；（4）利用特征，反向求A。

三、微课设计应用实践及效果

常规教学一般直接给出定义→给出定理→给出证明→给出例题→最后总结，学生往往不知所云，究竟这是什么？为什么学？人家为什么会想到？学这个有什么用？这个对我们的生活有何指导？死板的教学模式只会打击学生的积极性，从而消磨了学习数学的兴趣。数学本是用数学符号描述自然现象和人文现象的学科，通过符号将一切统一化，进而再理论演绎，得到结论，从而更好的指导我们的生活。

在实际教学中，将上述微课设计应用于课堂教学，将理论暗含到小现象、小策略、小故事中，在对它们的层层剖析、梳理中，将新的理论将不知不觉地浸入到学生的大脑，改变大脑神经组织，进而提升了学生对相似对角化内容的认知和理解。同时在教学设计的过程中，對教师的教学提出了更高的要求，如何引入、如何诠释，如何设计例题，如何带领学生去发现，去分析，去归纳，去思考……都需要经过反复思考，反复推敲，这在潜移默化中提升了教师对知识的理解和教学水平的提高。

四、结语：再塑课堂 高效教学

教学始终是教与学的过程，无论微课还是MOOC最终都无法取代真实的课堂，因为真实的课堂是有温度的，教育的终极目标是学会做人。当我们拥有了优质的教学资源，需要教师自身具备应用现代教学设备的能力和教学设计组织的能力，经过教师的组织，教学过程便有了温度，温度越好，现场气氛越好，师生的互动性便越好，现场便也有了争辩，在争辩和互动的过程中便有了进一步的互相学习，了解了同伴们新的不同体会，因而学习到更多的思想和方法，潜移默化之中学生便不知不觉的提高了：知识吃透了，思维清晰了，变得自信了，敢于表达了，懂得尊重了，懂得分享了，学会团结了。

未来的互联网教育时代，对教师将提出更高的要求，如何将现有知识内化加工，如何通过高科技的手段高效传授给学生，让学生成为有用之才，都是我们要进一步去努力探索的，这个过程必将是一个复杂的艺术创作的过程！

参考文献：

[1]王发兴，郑莹. 应用型本科院校线性代数教学改革的几点构想[J]. 课程教育研究，2014，08：149.

[2]郑莹，王发兴. 工科院校线性代数的教学现状及几点建议[J]. 学苑教育，2014，24：52.

[3] 王发兴，郑莹.线性代数微课程在独立学院教学中的应用分析[J]. 课程教育研究，2016，15 142-143.

基金项目：南京邮电大学通达学院教学改革项目，编号：JG30915010。

作者简介：郑莹（1979-），女，汉族，河南安阳，讲师，南京邮电大学，江苏南京。研究方向：微分方程、数学教育。