关于Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式

邱克娥, 彭长文

(贵州师范学院 数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550018)

关于Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式

邱克娥, 彭长文

(贵州师范学院 数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550018)

主要建立2个关于已知函数导数的重要Hermite-Hadamard型Riemann-Liouville分数积分恒等式,进而得到关于某些特殊凸函数有意义的Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard型不等式,如s-凸函数、m-凸函数、(s,m)-凸函数等.这些结果改进了一些文献中的有关结果,并结合几个常用的平均值给出应用.

Riemann-Liouville分数积分; Hermite-Hadamard型不等式;s-凸函数;m-凸函数; (s,m)-凸函数

1893年,Hermite和Hadamard给出了著名的Hadamard不等式(也叫Hermite-Hadamard不等式):若f(x)是闭区间[a,b]上的连续凸函数,则有

等号当且仅当f(x)为线性函数时成立.近些年来,Hermite-Hadamard不等式受到广泛关注并应用于生产实际及计算机领域,参见文献[1-3].更有许多学者对Hermite-Hadamard不等式做了大量的改进和推广,M.Z.Sarikava等在文献[4]的定理2中得到:设0≤a

其中

显然Hermite-Hadamard不等式是Riemann-Liouville分数积分的一种特殊形式,只需要α=1.对于分数积分的有关结果,参看文献[5-7].ZhuC.等在文献[8]定理2.3中得到如下结果:

定理1[8]设a

受上述不等式的启发,本文主要建立关于s-凸函数、m-凸函数、(s,m)-凸函数的左Riemann-Liouville分数积分的Hermite-Hadamard不等式,其中某些结果改进了上述不等式的结果.

1 定义和引理

为了方便,首先给出一些记号、凸函数的有关概念以及本文所需要的2个重要引理.记I是实数集R的一个子集,即I⊂R.

定义1[9]设函数f(x)在区间I⊂R+上有定义,若对任意x,y∈I和λ∈[0,1],都有

f(λx+(1-λ)y)≤λsf(x)+(1-λ)sf(y),

其中s∈(0,1],则称f(x)是I上的s-凸函数.

定义2[10]设函数f(x)在区间I⊂R+上有定义,若对任意x,y∈I和λ∈[0,1],都有

f(λx+m(1-λ)y)≤λf(x)+m(1-λ)f(y),

其中m∈[0，1],则称f(x)是I上的m-凸函数.

定义3[10]设函数f(x)在区间I⊂R+上有定义,若对任意x,y∈I和λ∈[0，1],都有

f(λx+m(1-λ)y)≤λsf(x)+m(1-λs)f(y),

其中(s,m)∈[0，1]×[0，1],则称f(x)是I上的(s,m)-凸函数.

不少学者关于s-凸函数、m-凸函数、(s,m)-凸函数得到许多Hermite-Hadamard不等式，可以参看文献[10-12].关于其他类型凸函数如MT-凸函数、Schur-凸函数、GA-凸函数的相关不等式,参看文献[13-15].

引理1设a

证明

I1+I2-I3-I4-I5+I6.

(1)

分别积分得

(2)

(3)

且

(4)

且

(5)

(6)

且

(7)

所以将(2)～(7)式代入(1)式可得

(8)

注1在引理1中,令α=1,则有

引理2设a

证明利用引理1,并注意到区间[a,mb]⊂[a,b],则该引理易得.证毕

2 主要结果及证明

2.1主要结果通过引理1和引理2得到如下结果,其中定理2中的分数积分不等式是定理1中不等式的加细.

定理2设a

其中,0<α≤1,B是贝塔函数;

其中α>1.

定理4设a

当α≥1时,下列分数积分不等式成立

2.2定理2的证明对任意t∈[0，1],由引理1及基本不等式(1+t)α<2α有

由于|f′(x)|是定义在[a,b]上的s-凸函数,则对任意t∈[0，1],对某些固定的s∈(0,1]有

且

因此

通过简单计算得到

由于对任意t∈[0，1],s∈(0,1],有不等式(1+t)s≤1+ts,所以

另一方面,对任意t∈[0，1],当α∈(0,1],有不等式(1+t)α≥2α-1(1+tα),所以

当α∈(1,∞)有不等式(1+t)α≥1+tα,所以

综上所述,当α∈(0,1]时

当α∈(1,∞)时

因此

其中

K′=

定理2得证.

注2在定理2中取α=s=1,则

得到文献[11]中的结果.该结果改进了文献[8]中的结果.

且

与定理2证明类似可得,定理3结论成立.证毕.

2.4定理4的证明由于|f′(x)|是定义在[a,b]上的可测(s,m)-凸函数,对任意t∈[0，1],对某(s,m)∈(0,1]2,

且

与定理2证明类似可得,定理4结论成立.证毕.

3 应用

对任意实数α,β,α≠β，考虑文献[12]中的以下平均值:

命题1设a,b∈R,a

证明设f(x)=xn,α=1,应用定理2即可证.证毕.

命题2设a,b∈R,a

证明设f(x)=1/x,α=1,应用定理2即可证.证毕.

命题3设a,b∈R{0},ab-1,0∉[a,b],n∈Z且|n|≥2,则

同时

证明在命题1及命题2中,做替换a→b-1,b→a-1即可证.证毕.

致谢2015年省级本科教学工程建设项目(黔教高发[2015]337号)和基于ACM/ICPC问题驱动的《数据结构》课程教学改革项目(黔教高发[2015]337号)对本文给予了资助，谨致谢意.

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On Hermite-Hadamard-type Inequalities for Riemann-Liouville Fractional Integrals

QIU Ke’e, PENG Changwen

(InstituteofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang550018,Guizhou)

In this paper, we explore two important Hermite-Hadamard-type fractional integral identities including the first-order derivative of a given function. With the help of the fractional integral identities, some interesting and important Hermite-Hadamard’s inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals fors-convex,m-convex, (s,m)-convex functions are established, respectively. The results obtained in this paper provide a refinement of previously known results in the literature and some applications to special means of real numbers.

Riemann-Liouville fractional integrals; Hermite-Hadamard type inequalities;s-convex functions;m-convex functions; (s,m)-convex functions

2016-02-15

贵州省科学技术基金(黔科合J字[2014]2142)、贵州省教育厅自然科学研究项目(黔教合KY字[2015]422号)和卓越工程师教育培养计划项目(黔教高发[2013]446号)

邱克娥(1986—),女,讲师,主要从事函数论的研究,E-mail:qke456@sina.com

O122.3

A

1001-8395(2017)05-0644-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.014

2010MSC：26A15; 26A51

(编辑 李德华)