新的Nystrom法解二维第二类Fredholm积分方程
2017-11-08徐建,黄晋
徐 建, 黄 晋
(电子科技大学 数学科学学院， 四川 成都 611731)
新的Nystrom法解二维第二类Fredholm积分方程
徐 建, 黄 晋*
(电子科技大学 数学科学学院， 四川 成都 611731)
基于Nystom方法的定义，利用积分中值定理下的Nystrom方法来解决线性的二维第二类Fredholm积分方程，从而得到积分方程的近似解，并且还对所得的近似解作了相应的误差估计和收敛性分析.最后，给出了一些相应的数值算例，将数值解与解析解相比较，表明了该方法的可行性和有效性.
Nystrom方法； Fredholm积分方程； 误差分析
由于积分方程已被广泛应用于弹性力学、流体力学、计算电磁学、计算生物和热传导等实际的工程问题，因此受到很多人的关注和重视.近20年来，很多方法也用来解决第二类Fredholm积分方程，如配置法[1-2]、泰勒多项式逼近法[3-4]、Nystrom方法[5-7]、小波分析法[8-11]、Galerkin方法[12]等.
1 Nystrom方法的基本理论
考虑积分方程
f(x,y), (x,y)∈[a,b]×[a,b],
(1)
其中，f(x,y)是定义在[a,b]×[a,b]上的连续函数，k(x,y,s,t)是连续的核函数.所谓传统的Nystrom方法：首先定义线性积分算子K是映C[a,b]×[a,b]到C[a,b]×[a,b]的紧算子，并且有
(x,y)∈[a,b]×[a,b].
(2)
由数值积分的插值求积公式有
(x,y)∈[a,b]×[a,b],
(3)
其中，(xm,yt)为[a,b]×[a,b]上的求积节点，m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1，一系列系数a00,a01,…,a0n;a10,a11,…,a1n;…;an0,an1,…,ann为求积系数.为此，根据Nystrom方法，方程(1)的数值解可表示为
φn(x,y)=f(x,y)+
(4)
f(xi,yj),i=0,1,2,…,n-1,j=0,1,2,…,n-1.
(5)
为此，得到的积分方程数值解的方法叫Nystrom法或者叫机械求积法[1].
2 利用积分中值定理下新的Nystrom数值求积法
前面初步介绍了数值积分法，下面对这个方法进行改进，使之更加简化.在讨论新方法之前，需要回顾积分中值定理:
(6)
为此，假设x0=a,…,xn=b，利用积分区间可加性定理有
(7)
(8)
其中xk 令 (9) 其中ck(k=0,1,2,…,n)都是常数.如果ck是能够被确定的，那么Tn(s,ck)这个求积公式就是精确的；但这只是理论的想法，而实际上Tn比T(s)更难处理，因为常数c和ck都是未知的，很难确定；但是将Tn(s,ck)这个公式应用到求解第二类连续核的Fredholm积分方程的近似解中去，会使计算更加简单容易.为了使计算方便，通常都是取等距节点 xk=a+kh,k=0,1,2,…,n, (10) (11) 对于二维问题，同理可以采用二重积分中值定理，然后再应用于解二维第二类连续核的Fredholm方程中，得到 (12) 其中，0 hct(y))·φ(xm+hcm(x),yt+hct(y)), (13) 其中，(x,y)∈[a,b]×[a,b]，未知函数cm(x)和ct(y)(m=0,1,2,…,n-1;t=0,1,2,…,n-1)分别依赖于x和y，且0 cm(x)=cm，ct(y)=ct， (14) 其中,cm和ct都是常数，且0 k(x,y,xm+hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct), 其中,(x,y)∈[a,b]×[a,b]，0 下面定义积分算子 hct)·φ(xm+hcm,yt+hct), (15) 且有如下定理： 证明对于∀φ∈C[a,b]×[a,b]，并且‖φ‖≤1,由于 而 hcm,yt+hct)·φ(xm+hcm,yt+hct)|≤ 所以 (19) 即 又因为积分核函数k(x,y,s,t)是连续函数，所以必然存在一点(m0,n0)∈[a,b]×[a,b]使得 (20) 另外，若选择φ0∈C[a,b]×[a,b]，‖φ0‖=1，且 k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)= |k(m0,n0,xm+hcm,yt+hct)|, m=0,1,2,…,n;t=0,1,2,…,n, (21) 则可以得到 (22) 而 hcm,yt+hct)·φ0(xm+hcm,yt+hct)= (23) 因此，定理得证. 通过以上求积公式的算法构造，可得到方程(1)的近似解 (x,y)∈[a,b]×[a,b],0 (24) i=0,1,2,…,n-1;j=0,1,2,…,n-1. (25) 也即原算子方程 φ-Kφ=f, (26) 可以近似为算子方程 (27) 对于以上的算法是否有效呢？得到的解是否收敛呢？误差是否合理呢？这些都是值得去研究和讨论的；为此，就需要进一步对解的收敛性做判断，以及对误差进行分析.首先，为了方便讨论，令 其中,0 定理2如果函数s(x,y)[a,b]×[a,b]上是连续的，并且满足利普希茨条件[1]： 1)‖s(x1,y)-s(x2,y)‖≤L1‖x1-x2‖, 2)‖s(x,y1)-s(x,y2)‖≤L2‖y1-y2‖， 其中L1和L2都是大于0的常数,则有 (29) 证明因为 s(xm+hcm,yt+hct)‖= s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖≤ ‖s(xm+hcm,yt+hc)-s(xm+hcm,yt+hct)‖]≤ 其中L1和L2都是大于0的常数.又因为 所以 0<|c-cm|<1， 0<|c-ct|<1, (31) 从而有 (32) 令 L1+L2=M, (33) 则有 (34) 为此有 同样，有如下定理： 定理3如果函数k(x,y,s,t)是在D内上的连续函数，并且满足利普希茨条件[1]： 1)‖k(x,y,s1,t)-k(x,y,s2,t)‖≤L3‖s1-s2‖， 2)‖k(x,y,s,t1)-k(x,y,s,t2)‖≤L4‖t1-t2‖， 3)‖φ(s1,t)-φ(s2,t)‖≤L5‖s1-s2‖， 4)‖φ(s,t1)-φ(s,t2)‖≤L6‖t1-t2‖， 其中L3、L4、L5以及L6都是大于0的常数，则有 (35) 证明因为 φ(xm+hcm,yt+hct)- φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤ φ(xm+hcm,yt+hct)- k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖= φ(xm+hcm,yt+hct)- k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm,yt+hct(y))+ k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm,yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+ k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))+ k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤ φ(xm+hcm,yt+hct)- k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm,yt+hct(y))‖+ φ(xm+hcm,yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm,yt+hct)· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+ φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm,yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖+ φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))- k(x,y,xm+hcm(x),yt+hct(y))· φ(xm+hcm(x),yt+hct(y))‖≤ h3L4‖φ(x,y)‖ h3L3‖φ(x,y)‖ (36) 这里,0 h3L4‖φ(x,y)‖·n2+h3L3‖φ(x,y)‖·n2= h3·n2(L4+L3)‖φ(x,y)‖= (37) 若令 L6+L5=M1,L4+L3=M2, (38) 则有 M2‖φ(x,y)‖], (39) 从而得到 即定理得证. M2‖φ(x,y)‖]. (40) 由于0 可以得到近似解 (42) 之后，再采用求取平均值作为最终的近似结果，即 (43) 例1[1]考虑二维的积分方程 首先，当取n=5时，得到其解析解u和数值解un的图像分别如图1和图2. 图 2 当n=5且k=10的数值解曲线 当n=5、10、15,且k=10时,其数值解un和解析解u的绝对误差见表1. 表 1 误差分析表 对于多维线性的第二类Fredholm积分方程，积分中值定理下的Nystrom方法是一种简单有效的方法，并且该方法所得到的数值解的收敛性和误差估计也得到了分析和证明；但是该方法所达到的计算精度并不高，对它所得到的解进行迭代过后，会达到更高的精度.当然，更好的方法有待进一步研究. [1] 吕涛,黄晋. 积分方程数值解的高精度算法[M]. 北京:科学出版社,2012:197-215. [2] GRAHAM I G. Collocation methods for two dimensional weakly singular integral equations[J]. J Austral Math Soc,1981,B22(4):456-473. [3] 黄勇,李显方. 二维Fredholm方程的Taylor展开式解法[J]. 数学理论与应用,2007,27(1):92-95. [4] LIU Y C. Application of the Chebyshev polynomial in solving Fredholm integral equations[J]. Math Comput Model,2009,50(3):465-469. [5] NELAKANTI G L. Iteration methods for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Comput Math Appl,2007,53(6):886-894. [6] WANG K Y, WANG Q S. Lagrange collocation method for solving Volterra-Fredholm Integral equations[J]. Appl Math Comput,2013,219(21):10434-10440. [7] ZHONG X C. A new Nystrom-type method for Fredholm integral equations of the second kind[J]. Appl Math Comput,2013,219(17):8842-8847. [8] XIAO J Y, WEN L H, ZHANG D. Solving second kind Fredholm integral equations by periodic wavelet Galerkin method[J]. Appl Math Comput,2006,175(1):508-518. [9] 霍春雷,冯象初. 第二类Fredholm积分方程的小波快速算法[J]. 工程数学学报,2003,20(6):42-46. [10] 张慧. 高阶奇异积分方程的小波解法[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(4):471-473. [11] 李来,孙经先,赵吕慧子. 一类Hammerstein型积分方程的解[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2011,34(5):646-650. [12] 黄春妙,王五生. 若奇异非线性迭代积分不等式及其应用[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2016,39(2):214-220. The Solution of the Second Kind Fredholm Integral Equationunder the New Nystrom Method XU Jian, HUANG Jin (CollegeofMathematicsScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan) Based on the definition of Nystrom method, in this paper we use a new Nystyom method under the integral mean value theorem to solve the two-dimendion linear second kind Fredholm integral equation, and get its approximate solution. We also give the corresponding error estimation and convergence analysis for the approximate solution. Finally, a corresponding numerical example is given to show the feasibility and effectiveness of this method. Nystrom method; Fredholm integral equation; error estimation 2016-04-17 国家自然科学基金(11371079) *通信作者简介：黄 晋(1965—)，男，教授，主要从事积分方程高精度算法的研究，E-mail：huangjin12345@163.com O241.83 A 1001-8395(2017)05-0609-06 10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.008 2010MSC:45B05 (编辑 余 毅)
3 收敛性分析和误差分析
4 具体的算法步骤整理
5 数值算例
6 结束语
