初中数学课堂渗入数形结合思想——以一次函数与二元一次方程的关系为例

广东实验中学南海学校(528244) 胡诗雨

初中数学课堂渗入数形结合思想
——以一次函数与二元一次方程的关系为例

广东实验中学南海学校(528244) 胡诗雨

二元一次方程与一次函数的关系是数形结合的重要体现,但很容易混淆.例如这样一道经典例题:

如图1,已知一次函数y=2x+b和y=kx−3(k̸=0)的图像交于点P,则二元一次方程组的解是___.

图1

1.不清楚函数与方程的联系;

2.不懂得区分函数和方程,没有充分理解相关数学概念.

师:还记得什么是一次函数吗?

生:y=kx+b.

师:很好,那我们今天先来看一个具体的一次函数,现在请你们在方格纸上画出这个一次函数的图像.

学生动手画图,回顾一次函数及其图像.

师:如图2,画图时你们取了几个点?

图2

生:两个.

师:一次函数图像上只有你取的那两个点吗?

生:不是,有无数多个点.

师:很好,那我们现在列一个表格来看一下这个函数图像上的点.

_________________x -2__-1__0__1__2__y=2x−_1___-5__-3__-1__1__3_

这个是我们刚刚用来画图所列的表格,先请同学把它们改写成坐标的形式.

生:(−2,−5),(−1,−3),(0,−1),(1,1),(2,3).

师:现在老师再把表格改写成这个样子,请同学们认真观察

这是什么?

生:方程的解.

师:请同学来完整地回答:什么方程的解?.

生:二元一次方程的解.

师:哪一个二元一次方程的解?

生:y=2x−1.

生(疑惑):老师,所以说一次函数y=2x−1就是二元一次方程y=2x−1?

师(反问):那么你认为点(−2,−5)就是解?

生:表示的形式不同.

师:表示的意义也是不同的:点(−2,−5)是点的坐标,确定点的位置,这个点在一次函数y=2x−1的图像上;而解是使方程y=2x−1成立的一组未知数的取值.

生(顿悟):所以一次函数y=2x−1就是二元一次方程y=2x−1表示的意义是不一样的.

师:是的,从定义上就能说明.一次函数是两个变量x,y之间的关系,二元一次方程是两个未知数x,y之间的关系,我们可以说函数y=2x−1和方程y=2x−1表示的关系是相同的.下面我们来看一道例题:

下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x−2y=2的解的是( ).

生:先求出四个一次函数表达式.

师:为什么?

生:坐标能变成解,说明函数与方程表示的关系是一样的.

师:非常好.下面我们来小结一下(图3板书)

图3

课堂反思与小结

1.数形结合思想贯穿中学数学,在代数关系式和图像之间的转换是学生思维的难点.课例所节选的内容是数形结合的基础内容:点在线上点的坐标满足函数关系式.

2.从“数”的角度来说,点的坐标要带入到函数关系式中进行计算,看等式是否成立;从“形”方面看,所有满足函数关系式的点构成函数图像(点成线);

3.引入和讲解都是用具体的函数式,小结部分则用代数式进一步深化,说明结论对一切一次函数及其对应的二元一次方程都适用.