“三数”求解大揭秘

陈 刚

“三数”求解大揭秘

陈 刚

通过学习，我们知道“三数”指平均数、中位数、众数，分别反映了数据的平均水平、居中水平、集中水平，是人们对数据分析后做出合理决策的依据.确定一组数据的“三数”是中考的必考内容，根据它们各自的不同含义，其确定方法也不一样.同时，掌握其中的数学思想，更能助力同学们在数学的大海上远航.

方法篇

一、公式“算”出平均数

平均数是“算”出来的.由于n个数据x1，x2，…，xn的平均数x与每个数据大小都有关，因此，确定一组数据的平均数需要通过公式x1+x2+…+xn）进行计算.

例1 下表是对某学校男子足球队队员的年龄统计，则他们的平均年龄是____.

【解析】根据平均数的求法，用所有年龄的和除以总人数即可.

【点评】此题主要考查了平均数的求法，相对简单，细心计算即可得出答案.要注意当一组数据中有较多数重复出现时，应用加权平均数公式计算.

二、大小“排”出中位数

中位数是“排”出来的.由于一组数据的中位数与最大、最小的数据无关，因此确定一组数据的中位数只要将这组数据按照顺序（由小到大或由大到小）排列.此时，位于最中间的数据若只有一个，则该数即为这组数据的中位数；若有两个，则中位数是这两个数据的平均数.

例2 佳和中学生物兴趣小组调查了本地区几棵古树的生长时间，记录数据如下（单位：年）：200，220，240，210，200，这组数据的中位数是____.

【解析】将这5个数按由小到大的顺序排列为：200，200，210，220，240，处于最中间位置的是210，所以这组数据的中位数是210.

【点评】确定n个数据的中位数时，先按大小将各数据依次排列，然后确定位于最中间的一个或两个数据.当n为奇数时，最中间一个数是第个；当n为偶数时，最中间两个数分别是第和第（+1）个.

三、抛头露面“数”众数

众数是“数”出来的.由于众数是指某组数据中出现次数最多的数，所以确定众数时，只要数一数每个数据出现的次数，保留出现次数最多的数即可.

例3 数据1，6，8，5，8，6，0的众数是____.【解析】该组数据中0、1、5均出现一次，6、

8均出现两次.

由于6、8出现次数最多，所以该组数据的众数是6和8.

【点评】确定众数时要注意两点：①不要错将数据出现的次数当成众数；②众数有时不止一个，不要数漏.

思想篇

一、方程思想

例1 一组数据4、x、5、10、11的平均数为7，则这组数据的众数是 .

【解析】由题意得4+x+5+10+11=7×5，解得x=5，所以这组数据为4、5、5、10、11，其众数为5.

二、整体思想

例2 有从小到大依次排列的9个数，其平均数为30，若其前5个数的平均数为20，后5个数的平均数为41，试求这组数据的中位数.

【解析】显然根据题目中的三个条件要直接求出这九个数是不可能的，但如果把前4个数看作一个整体，后4个数也看作一个整体，可设前4个数的和为a，后4个数的和为b，中位数（即中间数）为x.

由题意可得a+x=20×5，b+x=41×5，

则a=100-x，b=205-x.

因为a+x+b=30×9，

所以100-x+x+205-x=270，x=35.

即中位数为35.

三、分类思想

例3 陈老师想对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分为4个小组.经统计，这4个小组平均每分钟打字的个数如下：100，80，x，100.已知这组数据的中位数与平均数相等，那么x的值为____.

【解析】要确定中位数，就要先把这4个数进行排序，而我们不知道x处于什么位置，因此要利用分类思想.

（1）当x≥100时，这组数据为80，100，100，x，中位数是100.

根据中位数与平均数相等，得80+100+x+100=100×4，解得x=120.

综上所述，x的值为120或80.

四、数形结合思想

例4 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成条形统计图，则这组数据的众数是____.

【解析】根据条形统计图可知，环数为5，6，7，8，9，10的人数依次为：1，2，7，6，3，1，其中环数7出现了7次，次数最多，即为这组数据的众数.

（作者单位：江苏省宿迁市泗洪县第一实验学校）