伴随矩阵性质及其在研究生考试中应用

陈天

摘 要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个重要概念，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵自身的理论有较强的应用性特点，在求解逆矩阵数学问题中有重要的作用。本文结合部分考研试题，对伴随矩阵的性质进行思考。

关键词：线性代数；伴随矩阵；性质

矩阵将m维世界和n维世界进行了密切的联系，是线性代数中的重要内容之一，也是许多学科常用的数学工具。在研究矩阵可逆的条件时，提出了伴随矩阵。当矩阵可逆时，借助伴随矩阵可以求出逆矩阵。在一般的教科书中，关于伴随矩阵的集中研究较少。本文主要结合实例，给出伴随矩阵的若干性质。

一、伴随矩阵的运算性质

性质1，乘积矩阵的伴随矩阵运算性质。若矩阵A为非奇异阵，k为常数（k≠0），则（kA）*=kn-1A*。

通过上式的计算，完成了对伴随矩阵运算性质的分析。

性质2，分块矩阵的伴随矩阵运算性质。若A、B作为n阶可逆矩阵，则有[0AB0*=0（-1）AB*（-1）B0]。

证明：

[0AB0*=0AB00AB0-1=（-1）n2BA0B-1A-10=0（-1）AB*（-1）B0]

二、伴随矩阵的关联性质

性质1，若A是n阶对称矩阵，那么A*也是n阶对称矩阵；若A是n阶反对称矩阵，那么当n是偶数时，A8也是n阶反对称矩阵，当n时奇数时，A*是n阶对称矩阵。

∵A是n阶对称矩阵，∴AT=A，又∵（A*）T=（AT）*=（-A）n-1A*。

设n为偶数，有（-1）n-1A*=-A*，即（A*）T=-A*，所以A*也是n阶反对称矩阵；

当n时奇数，有（-1）n-1A*=A*，即（A*）T=A*，所以A*是n阶对称矩阵。

三、伴随矩阵的关系性质

对伴随矩阵的关系性质进行分析可知，主要包括以下三方面的性质。

性质1，若矩阵A和B可交换，则A*与B*也可交换。

证明：∵A，B可交换∴AB=BA，又∵A*B*（BA）*=（AB）*=B*A*∴A*和B*可以互相进行交换。

性质2，在方阵中，若方阵A等价于B，那么则认为A*等价于B*。

证明：∵A等价于B，则存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，上式子两边取伴随矩阵，得（PAQ）*=B*，即有Q*A*P*=B*，∵P，Q可逆，∴P*，Q*也可逆，由矩阵的等价定义可知，A*等价于B*。

性质3，在A与B相似的情况下，求A*与B*相似。

证明：∵如果A是可逆的，说明AB之间存在较强的相似性关系，可逆矩阵P也是相似的，将两者之间的等量关系用公式表示为：P-1AP=B，两边取行列式，得B可逆。在P-1AP=B两边取逆，得P-1A-1P=B。上式两边分别乘以[A]，[B]，得[P-1AA-1P=BB-1]，即P-1A*P=B*。因此说明A*与B*相似。

四、伴随矩阵在研究生考试中的应用

例一（2013年，高数一）设A=（aij）是三阶非零矩阵，[A]为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若Aij+aij=0，则[A]=_____。

解：由Aij+aij=0知，AT=-A*，从而有[A=AT=-A*=-A2]，即[A2+A=0]，或[A=0，1]又[A=a11A11+a12A12+a13A13=-i=13a21i<0]，故[A=-1]。

五、结语

伴随矩阵由原矩阵唯一确定，它们之间有必然的联系。原矩阵可逆时，伴随矩阵与其逆矩阵之间只差一个常数倍，所以伴随矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，研究伴随矩阵及其性質是非常有意义的。本文总结了伴随矩阵的性质，希望给解题带来一定的借鉴意义。

参考文献：

[1]张平平.伴随矩阵的性质及其应用[J].教育教学论坛，2015，（36）：195-196.

[2]韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东大学，2008.

[3]王莲花，田立平.伴随矩阵的性质及其应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2006，（03）：4-6.endprint