数感：长期困惑一线教师的问题

肖志丽

在日常生活中，有一些概念似乎谁都知道，但要细论起来，谁都说不清楚。在数学中也存在着这么一个概念，那就是“数感”。在日常教学中，老师经常提出要通过数形结合等方式提高学生的数感；课标也把数感作为十大核心素养之一，并要求教师利用数感帮助学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。但是到底什么是数感呢？一线教师众说纷纭，专家文章见解不一，更无统一界定和权威解释。以致一线教师长期对此普遍感到困惑。为此，本文从专家的解读以及一线教师的疑惑这两层面，谈谈数感这个长期困惑一线教师的问题。

一、专家的解读

正因为一线教师难以找到理解“数感”的抓手这一现象，所以许多专家也对数感的内涵进行了研究。虽然数感对大多数人来讲是一个再熟悉不过的活动了，但是要对其做出清晰、准确的概念界定，却不是一件容易的事情。在学术界具有代表性的是结构说、意识说、感知说、直觉说。

其一，结构说。《义务教育数学课程标准（2011年版）》数感主要表现在：关于数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。这是课标对数感的解读。它阐述了数感的内容。课标做出了这些具体的阐述，可为什么一线教师还是不能理解它的内涵呢？其原因在于课标提到的数的意义、数的关系、数的表达、算法、估算这些概念的关系并不是串联或者并联，它们并没有按照一定的标准进行分类，因此教师理解起来含糊不清，在实践过程中漫无目的。

其二，意识说。马云鹏教授认为：数感是一种主动的、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识。意识是人脑对大脑内外表象的觉察。即不管在什么情境中看到一个数，头脑中便能对其大小做出恒常的反应。

其三，感知说。郑毓信教授指出：数感与具体的分辨能力、计算能力、估算能力等相比，传递的是一种新的内涵。“感”与“能力”相比含有一种“直感”的涵义，特别是指对于某种特定的事物或现象或属性方面的敏感性，以及相关的鉴别能力。而能力通常并非一种自觉地过程，它是一种直接的“感知”，道不清、说不明。即数感指对数相关属性的感觉与知觉。感觉即客观刺激作用于感觉器官所产生的对事物个别属性的反映。知觉是客观事物直接作用于感官而在头脑中产生的对事物整体的认识。所以数感即是对数的大小、数量及数量关系的反应。

其四，直觉说。首先数感是一种对数字（量）的直觉，并且是一种敏捷的感知。它可以在较短的时间里通过对数学的“第一印象 ”反应为数学问题，用数去表示量，帮助主题从感知的层面转到数学思维。其次数感是一种具有培养行的知觉，它通过人对‘数概念的扩张和延伸而反映为对数学感知不断提升的灵敏性。数感作为直感，它具有非逻辑性，非演绎性，反应时间短，稳定性差等特征。

二、一线教师的困惑

看了专家的解读，我们是更加清楚了，还是更加糊涂了？显然，这让我们更困惑了。

比如意识说。如果说数感是一种意识也是有一定道理的。因为意识是人脑对大脑内外表象的觉察。在生活中，我们会自觉对数、数量、结果做出反应：比如看到一个32×25×125这样的算式，人脑能自觉对32进行拆分从而进行简算；看到a是b的17倍，求a和b的最小公倍数，学生会自觉得出a÷b=17这个算式，并且自觉理解a和b成倍数关系，因此它们的最小公倍数则是a。但是这种自觉性又不完全是与生俱来的，很多都是需要习得的。因为在学生第一次接触32×25×125时，他们没有关于这类问题的简算经验，所以需要下意识去理解数与数之间的联系，从而学会简算的方法。所以大部分学生不能自觉得出结果，我们经常需要借助数形结合的方式引导学生理解一个具体量、两个数之间的关系这两个概念的区别。这方面的理解是需要下意识去分析的。因此，数感不完全是一种意识。

比如感知说和直觉说的分析。数感是不是一种感知呢？感觉即客观事物刺激作用于感觉器官所产生的对事物个别属性的反映。知觉是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。数感即能够通过视觉、听觉等肢体建立感知。比如看到5个苹果，人们会在人脑中形成数字5，并且感知数字5的大小；看到一车的苹果会产生数量很多的概念。但是这种感知的建立是需要借助一定的思维过程。如关于大数的认识，学生很少直接接触到亿以上的实物，所以对亿以上数缺乏感知，这时候应该借助实物、想象等方式让学生领悟数的大小：先拿出一叠1000张的纸，高10厘米；接着让学生想象10000张、100000张……1亿张纸的高度，建立1亿的感知；同时出示一亿根棒棒糖的图片以及1亿颗米，让学生感知都是1亿，但是大小不同。通过这两个环节，帮助学生领悟数的大小，从而建立数感。因此感知说和直觉说都具有片面性。

如此重要的概念，为什么专家都没有形成统一的见解，课标也没有清晰的表述？大多数人认为主要原因是数感具有只可意会不可言传的特点。但一个概念要成立，一定要对其进行界定，实质上就是要给数感下一个定义，而下定义则必须要符合形式逻辑的规范要求。在形式逻辑上，为了对一个概念的内涵和外延做出简要说明，最有代表性亦最常用的定义方法是“属加种差”，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一个属概念下其他种概念的差别。它的公式是：被定义项=种差+邻近的属。从概念的界定来分析，为什么专家会众说纷纭呢？本质是他们在界定概念的时候并没有符合形式逻辑的规范要求，没有找出数感的种差以及它臨近的属，即没有从数感的内涵和外延进行分析。因此，对于数感的界定，应该要通过分析数感的内涵和外延，进行综合对比，形成一个科学的界定，以便于一线教师理解与实践，从而从根本上解决一线教师长期以来对数感的困惑。