函数高阶导数求法探讨

杨淑菊

摘要： 高阶导数是高等数学学习中的一个重点和难点，本文结合实例对高阶导数的求法进行探讨。

Abstract： Higher order derivative is an important and difficult point in the study of advanced mathematics. This paper discusses the solution of higher order derivatives with examples.

关键词： 高阶导数；直接法；公式法

Key words： higher order derivative；direct method；formula method

中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）32-0202-02

0 引言

高阶导数是高等数学学习中一个重点和难点，高等数学课程教材中关于函数的高阶导数大部分都是简单地给出概念，并对几个简单函数求高阶导数，本文结合实例对函数高阶导数的求法进行了探讨。

1 直接法

直接法是指按高阶导数的定义逐阶求导，找出规律，写出n阶导数，再用数学归纳法加以证明。

例1 求函数y=ln（1-2x）在x=0处n阶导数y（n）（0）。

解：y′==-2（1-2x）-1，

y″=（-2）2（-1）（1-2x）-2=-22（1-2x）-2

y′″=（-2）3（-1）（-2）（1-2x）-3=-232！（1-2x）-3

y（4）=（-2）4（-1）33！（1-2x）-4=-243！（1-2x）-4

一般地，可得y （n）=-2n（n-1）！（1-2x）-n；y（n）（0）=-2n（n-1）！

例2 设y=，求y（n）（n？叟2）。

分析：先将有理假分式利用多项式的除法化为一个多项式与真分式之和的形式，再将真分式拆分成部分分式之和。

解：y==（x+1）+

=（x+1）+-

y′=1+（-1）[6（x-3）-2-5（x-2）-2]；

y″=（-1）2×2！[6（x-3）-3-5（x-2）-3]

y′″=（-1）33！[6（x-3）-4-5（x-2）-4]

一般地，可得y（n）=（x+1）（n）+-

y（n）=（-1）nn！[6（x-3）-1-n-5（x-2）-1-n]

根据高阶导数的定义求函数的高阶导数是一种常用的方法，用这种方法的关键和核心是分析函数前几阶导数的规律性后，写出n阶导数，在用数学归纳法加以证明。应用这种方法要求学生具备较强的归纳总结的能力。

2 间接法

利用已知函数的高阶导数公式，把要求的函数转化成高阶导数已知的函数，从而求出要求的函数的高阶导数的方法。

例3 设y=sin4xcos2xcos3x，求y（n）。

解：

y=（sin6x+sin2x）cos3x=（sin6xcos3x+sin2xcos3x）

=（sin9x+sin3x+sin5x-sinx）

=9nsin9x++3nsin3x++5nsin5x+-sinx+

一般地，由sinn？琢，cosm？茁（n，m，？琢，？茁，均为自然数）的和、差、积所构成的函数的高阶导数，利用三角函数中的积化和差公式与倍角公式把函数的次数降低，变为sinkx，coskx再用公式（sinkx）（n）=knsinkx+，（coskx）（n）=kncoskx+将所求函数n的阶导数写出。将求未知函数的高阶导数转化为已知函数的高阶导数是一种常用的求高阶导数的方法。

3 用莱布尼茨公式

设函数u=u（x），v=（x）都在点x处具有n阶导数，則（uv）（n）=Cuv，其中u（0）=u，v（0）=v。对于函数是两项乘积，且其中一项为多项式，用莱布尼茨公式比较方便。

例4设y=x3sinx，求y（6）（0）

解：（x）=x，（x）=3x，（x）=6x，（x）=6，（x）=0（n？叟4），

y=Cx（sinx）+C3x（sinx）+C6x（sinx）+C

6（sinx）

y（0）=C6sinx+=-120

对于形式为g（x）=xf（x）或h（x）=x2f（x）的函数，经常用莱布尼茨公式求高阶导数，此时：

g（x）=Cxf（x）+Cx′f（x）=xf（x）+nf（x）；

h（x）=Cxf（x）+2xCf（x）+2Cf（x）

4 利用函数的泰勒展开式

例5 设y=x3sinx，求y（0）

解：（1）y=x3sinx无穷阶可导，先将其抽象展开为：

y=x

（2）y=x3sinx=x3x-x3+o（x3）=x4-x6+o（x6）

对比（1），（2）中的系数，则=-，所以y （6）（0）=-=120

5 总结

利用函数的泰勒级数展开式，求函数在一点处的高阶导数先写出函数的抽象展开式，再将题目中具体的函数展开成幂级数，通过比较系数可求出f （n）（x0）或者f （n）（0）。

参考文献：

[1]张宇.高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2016.

[2]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2015.

[3]华东师范大学数学系编.数学分析上册[M].高等教育出版社，2006.endprint