函数一致连续性判断方法探究

钱耀飞

[关 键 词] 函数；一致连续性；判断方法

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）13-0129-01

一致连续性作为函数的整体性质，是各类考试的重点考查内容，一方面概念本身很容易产生错误的理解和应用，特别是在与连续性做比较时，一致连续性比连续性要求更严格；另一方面，这个性质是第一次出现“一致”这个概念，这对后面研究其他“一致”的性质是特别重要的基础。

有关一致连续性的题目，简单可以分为两类，一类是判断函数是否是一致连续的，另一类就是已知函数具有一致连续性，给出相关应用或得出关于函数的其他性质。

一、常见证明一致连续的方法

（一）一致连续的定义

函数f在I上一致连续：

？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε.

（二）康托定理（一致连续性定理）

若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在区间[a，b]上一致连续.

（三）利普希茨（Lipschitz）条件

存在常数L>0，使得对I上任意两点x′，x″都有

|f（x′）-f（x″）|≤|x′-x″|

则f在I上一致连续。

（四）综合多区间的不同性质，得出一致连续

二、一致连续的否定定义

？埚ε0，？坌δ>0（无论δ多么小），在I上总存在两点x′和x″，尽管|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε0。

三、函数连续性与一致连续性的异同点

（一）相同点

若f（x）在I上一致连续，则f（x）在I上连续；反之不成立（即若f（x）在I上连续，f（x）不一定在I上一致连续）。

（二）不同点

1.定义

函数f（x）在I上连续

？坌x0∈I，？埚ε>0，？埚δ>0，当x′∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε

函数f（x）在I上一致连续

？坌ε>0，？埚δ>0，当x′，x″∈■（x0；δ）时，|f（x′）-f（x″）| <ε

2.对δ的要求

若函数f（x）在上I连续，对于I上的不同的点x0，相应的δ是不同的，也就是δ的取值除依赖于ε外，还与点x0有关，可记做δ=δ（ε，x0）

若函数f（x）在I上一致连续，δ的取值只与ε有关，而与x0无关，即存在适合于I上所有的点x0的公共的δ，记做δ=δ（ε），它对任意的x0适用。

3.性质

如果f（x）连续，则区间中的每一个点及其附近的f（x）情形有关，即只要在区间中每一点连续就行，也即在每一点中有适合定义中的δ，这是局部性質。

如果f（x）一致连续，则要知f（x）在整个区间的情形，在整个区间内来找适合定义中的δ，这种性质称为整体性质。

例题1：设函数f（x）在[0，+∞]上连续，■，为常数，证明：f（x）在[0，+∞]上一致连续.

解：∵■

∴？坌ε>0，取ε1=■<1，？埚M>max1，■，当x>M，有|f（x）-k■|<ε1，即0

又∵y=■在[M，+∞]上是一致连续

∴|■-■|=■<|x1-x2|<ε1

∵？坌x1，x2∈x1-x2[M，+∞]，？坌ε>0，？埚δ=ε1

s.t.|f（x1）-f（x2）|<|（k■+ε1）-（k■-ε1）|≤k|■-■|+2ε1<（k+2）ε1=ε

∴f（x）在[M，+∞]上一致连续

又∵在闭区间[0，M+1]上，f（x）连续，∴f（x）在[0，M+1]上一致连续，

∴只要取δ=ε1<1，则总有f（x）在[0，+∞]上一致连续.

例题2：设f（x）在区间（a，b）上一致连续，证明：f（x）在区间（a，b）内有界.

证：∵f（x）在区间（a，b）上一致连续

∴？坌x1，x2∈（a，b），对？坌ε>0，总？埚δ，当|x1-x2|时，有|f（x1）-

f（x2）|<ε，

∴在（a，a+δ）上，对任意的x，总有|f（x）-f（x+δ）|<ε，∴f（x）有界；

同理，在（b-δ，b）上，也有f（x）有界；而在[a+δ，b-δ]上，f（x）也有界

∴綜上所述，f（x）在区间（a，b）内有界.

例题3：证明sin■在（c，1）（c>0）内是一致连续的，而在（0，1）内连续但非一致连续.

证：对？坌ε>0

∵sin■-sin■=sin■cos■≤■≤■

∴？埚δ=c2ε，对？坌x′，x″∈（-∞，+∞），当|x′-x″|<δ时，有|f（x′）-f′（x″）|<ε

∴sin■在（c，1）（c>0）在内一致连续.

sin■在（0，1）内连续性是显然的，下证不一致连续：

取ε0=1，？坌δ<1，取x′=■，x″=■（n∈Z）则

0

∴当n充分大时，x′，x″能满足|x′-x″|<δ，但是

|f（x′）-x′（x″）|<ε=sin（nπ+■）-sin（nπ）=1

∴sin■在（0，1）内连续但不一致连续.