基于最小绝对收缩与选择算子模型稀疏恢复的多目标检测

洪刘根，郑 霖，杨 超

(1.桂林电子科技大学 广西无线宽带通信与信号处理重点实验室，广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学 信息与通信学院，广西 桂林 541004)

(*通信作者电子邮箱gwzheng@gmail.com)

基于最小绝对收缩与选择算子模型稀疏恢复的多目标检测

洪刘根1,2，郑 霖1,2*，杨 超1,2

(1.桂林电子科技大学 广西无线宽带通信与信号处理重点实验室，广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学 信息与通信学院，广西 桂林 541004)

(*通信作者电子邮箱gwzheng@gmail.com)

针对地面多径环境下运动目标检测，使用最小绝对收缩与选择算子(LASSO)算法在参数估计时会出现伪目标的问题，提出一种基于LASSO模型框架的设计矩阵降维构造方法。首先，信号的多径传播能够带来目标检测的空间分集，信号在不同的多径上有不同的多普勒频移；此外，使用宽带正交频分复用(OFDM)信号能够带来频率分集。由于空间分集和频率分集的引入造成目标的稀疏特性。利用多径的稀疏性和对环境的先验知识，去估计稀疏向量。仿真结果表明，在一定信噪比(SNR，-5 dB)下，基于设计矩阵降维构造方法的改进的LASSO算法比基追踪算法(BP)、DS(Dantzig Selector)、LASSO等传统算法的检测性能有明显提高；在一定虚警率(0.1)条件下，改进的LASSO算法比原LASSO算法检测概率提高了30%。所提算法能够有效去除伪目标，提高雷达目标检测概率。

多径效应；稀疏向量恢复；多目标检测；最小绝对收缩与选择算子；正交频分复用信号雷达

0 引言

地面动目标检测技术在国防和民用中变得越来越重要。地面场景中存在大量的反射、折射、散射，所以地面场景应看作是一个多径传播环境，且在大部分情况下，视线传播距离是未知的。传统的在开放环境中工作的雷达系统，在这样的场景中会无法使用，因此，需要想办法去利用多径反射的多路径特性，来提高目标检测性能。通过利用每个多径分量上多普勒频移不同这个特性，能够有效地提高在上述场景中对低速运动目标检测的能力。此外，多径传播能够从不同的入射角照射目标，这样就提高了目标检测的空间分集能力[1-2]。

正交频分复用 (Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)信号具有图钉状的模糊函数，这也就意味着OFDM雷达具有距离高分辨率和多普勒高分辨率，且不存在距离多普勒耦合。除此之外还具有频谱利用率高、自相关函数的旁瓣低、抑制多径和杂波能力强等优点，所以选取OFDM信号作为发射信号。尽管在通信领域OFDM信号已经被广泛研究并且实现了商业化应用[3]，但是在雷达领域OFDM雷达还有很大的研究空间[4-5]。

本文从另外一个角度去考虑多径场景下的目标检测问题，只考虑一阶镜面反射(或单次反弹)来建立OFDM多径信号回波模型；然后，把模型转变为稀疏模型表达式。考虑在特定区域内，运动点目标所有可能存在的速度，以及目标直射或者反射回波照射到雷达的所有可能存在的角度，那么此时目标的散射系数构成的矩阵就是一个符合要求的稀疏向量，其中非零元素处就代表着在这一特定的角度以及速度上存在着运动目标[6-8]。这样，就把目标检测问题转化为稀疏信号频谱估计问题了。Sen等[9]提出了基于稀疏向量估计的DS(Dantzig Selector)算法用于目标检测，并对该方法进行了性能分析；但是该稀疏恢复算法在多载波参数估计时会出现伪目标，导致了在虚警率一定(0.1)的条件下，检测性能较差。

为了提高目标的检测性能，本文采用最小绝对收缩与选择算子(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator, LASSO)模型框架，通过降维的方式去构造设计矩阵的稀疏向量估计算法。按标准经典线性回归模型Y=Xβ+ε，式中：Y是一个n×1维的响应矢量，X是一个n×p维的设计矩阵，β是一个p维的未知回归系数矢量，ε是一个n维的误差矢量。LASSO表达式如下：

(1)

式中：‖·‖2表示L2范数，‖·‖1表示L1范数，λ是一个大于零的调节参数。LASSO函数第一部分表示模型拟合的优良性，第二部分可以视为惩罚项。该方法的基本思想：把小的系数往0压缩，一旦某个系数被压缩到0，对应的变量就被删除。就好像用“筛子”过滤，把影响小的变量一次就筛掉了。

最小角回归算法(Least Angle Regression， LARS)[10]是求解LASSO模型的最常用的算法，本文就是使用这个算法进行仿真求解的。LARS与经典的逐步向前变量选择算法有着密切的联系。向前法的思想是变量由少到多，每次增加一个，直至没有变量可以引入为止。但此方法有一个明显缺点，由于各自变量之间可能存在着相关关系，因此后续变量的选入可能会使前面已选入的自变量变得不重要，而向前法又不考虑从已选变量中剔除不重要的变量，这样最后得到的“最优”子集可能包含一些对因变量影响不大的自变量。逐段向前法[11]比逐步向前法更加谨慎，该算法每次都要在所选变量的对应系数上增加或减小一个微量，其他系数保持不变。不断重复上述过程，直到所有残差都为零或者系数等于零。因此这种算法可能需要上千步才能得出最终的模型。LARS算法结合了这两种算法的长处，可以用来计算LASSO估计，并且计算量不大。

LARS方法的步骤如下：与向前法类似，先设所有协变量的系数为零，从中选择一个与响应变量相关性最大的，以z1为例，然后沿着z1的方向取最大的步长，直到另一个变量(例如z2)与当前的残差有同样多的相关性。接下来，LARS方法不是沿着z1的方向，而是沿着这两个向量的等角线向前运动，直到第三个变量与当前的残差有同样多的相关性，然后，沿着与三个向量等角的方向继续下去，即“最小角方向”，直到第四个变量进入“最相关集合”，依此类推。等角性使得该方法相对于逐段向前法在计算迭代的步长时变得容易[10]。

1 问题描述与建模

地面多径环境下，运动目标存在丰富的多径反射，如图1所示。假设，雷达工作频率为2.4 GHz，远场的点目标以一个恒定的相对速度v运动，建筑物的墙壁对雷达信号只产生镜面反射。在该场景下，首先介绍OFDM雷达体制下参数化的测量模型，然后介绍杂波和噪声的统计模型。

图1 多径场景示意图Fig. 1 Schematic diagram of multipath scene

1.1 OFDM测量模型

考虑一个单基地雷达，发射具有L个子载波的OFDM信号，信号载频为fC，各子载波的载频为fl(l=0, 1, …,L-1)；fl=fC+lΔf，Δf=B/(L+1)=1/T为信号的载频间隔，B为发射信号总的带宽(单位为Hz)，T为脉冲持续时间(单位为s)。那么，雷达的发射信号复包络可表示如下：

(2)

考虑OFDM信号是一个多载波信号且每个载波的地位是等价的，那么取任一子载波，可得表达式如下：

sl(t)=ej2πflt

(3)

在一个特定观测范围内(时延为τ)，第l个子载波在第p条多径上面的回波表达式如下：

yl(t)=xlpsl[(1+βp)(t-τ)]+el(t)

(4)

其中：xlp表示第l个子载波在第p条路径上的复散射系数；βp=2[v,up]/c表示第p条路径上的多普勒相关系数，up表示第p条路径上速度的方向矢量；el(t)表示加性高斯白噪声。

所以，可得第l个子载波回波表达式如下：

yl(t)=xlpe-j2πfl(1+βp)τej2πfl βpt+el(t)

(5)

在特定的观测区域内，对时间域进行离散化处理，令t=τ+nTp，其中n=0,1,…,N-1，Tp是脉冲重复间隔(Pulse Repetition Interval，PRI)，N是一个给定的相干处理间隔内的测量数目。

所以，在包含运动目标的特定观测区域内，第l个子载波的回波表达式又可以表示如下：

yl(n)=xlpφl(n,p,v)+el(n)

(6)

其中，φl(n,p,v)e-j2πflτej2πfl βpnTp。

1.2 稀疏建模

在包含运动目标的特定观测区域内，首先把所有可能存在的回波路径按照入射角度的不同分为P种，把所有可能存在的速度分为V种。通常来说，P和V的取值范围会非常大，但是在实际场景中，可以通过对环境的了解，将运动目标约束在一个较小的区域内；同时，由于场景的限制，那么场景中运动目标的速度也就被限定在一个较小的可变动范围内了，这样P和V的取值范围就会缩小(比如城市道路状况下汽车的运动速度范围为50～80 km/h)。

然后，将所有可能的组合表示为(θi,vj) (i=1,2,…,P,j=1,2,…,V)，并将式(6)重新表示为：

yl(n)=φl(n)Txl+el(n)

(7)

其中：φl(n)=[φl(n,θ1,v1),…,φl(n,θ1,vV),…,φl(n,θP,vV)]T；xl是一个PV×1的稀疏向量，其中有kl个非零项，这些非零项就代表着真实存在的反射路径上的散射系数。

将收发信号的所有子载波写成一个L×1的列向量，可以得到：

y(n)=Φ(n)x+e(n)

(8)

在一个相干处理间隔(Coherent Processing Interval, CPI)内，将所有的测量数据写成一个LN×1的矢量形式，得到的OFDM雷达测量模型如下：

y=Φx+e

(9)

其中:y=[y(0)T,y(1)T,…,y(N-1)T]T；Φ=[Φ(0)T,Φ(1)T,…,Φ(N-1)T]T是一个包含了回波信号所有可能存在的入射角度以及所有可能存在的速度，组成的一个LN×LPV的矩阵；e=[e(0)T,e(1)T,…,e(N-1)T]T是一个由噪声和干扰构成的LN×1的矢量。

1.3 统计假设模型

杂波由目标周围环境的反射回波或随机的微弱多径反射回波(这些回波来自城市中楼宇的窗户或者阳台)组成。因此，在OFDM雷达中，假设杂波和噪声是时间白噪声，并且服从零均值复高斯过程，但协方差Σ未知，即e(n)～N(0,Σ)，其中n=0,1,2,…,N-1，N(·)表示复合正态分布。因此OFDM测量模型的测量值y服从正态分布，其均值为Φx，协方差为IN⊗Σ，表示如下：

y～NL,N(Φx,IN⊗Σ)

(10)

其中:IN是N×N的单位矩阵， “⊗”代表克罗内克积。

2 稀疏恢复与性能分析

下面首先使用原LASSO稀疏恢复算法来求解上一章中提出的测量模型[9]，然后针对原LASSO算法的不足提出相应的改进方法，并比较两者的性能。

2.1 稀疏恢复

由式(9)可知，稀疏向量为x，且x中含有很少的非零元素。稀疏向量x的稀疏度k定义为稀疏向量x中的非零元素的个数，表达式为k=‖x‖0。

实际上矢量x中非零元素的位置与真实目标的参数在搜索区间中的位置是相互对应的，且成稀疏分布。

稀疏向量恢复算法的目的就是利用向量x的稀疏性，从含有噪声的回波信号y中恢复出x。写成表达式即为：

如直接求解上式则为NP-hard问题，一类近似求解方法是对上式进行凸松弛，转化为凸优化问题。

在统计学中，有很多稀疏向量恢复算法，能够利用向量x的稀疏性从含有噪声的回波信号y中恢复出x。下面的式(11)～(13)分别是基于L1范数的稀疏向量恢复算法：基追踪算法(Basis Pursuit，BP)、DS和LASSO[13]的表达式。

(11)

s.t. ‖y-Φx‖◇≤ε′

(12)

s.t. ‖ΦT(y-Φx)‖∞≤λ

(13)

其中:λ表示正则化参数，ε′表示噪声的大小。这三种稀疏恢复算法都有其对应的实现算法。但是由于LASSO算法的LARS求解过程简单，更易于工程实现，所以本文中主要使用LASSO模型。

LASSO解的稀疏性由调整参数λ来量化：λ越大惩罚越大，更多的变量被惩罚为0，但可能导致模型包含变量过少而遗漏重要变量，且产生更大的偏差；λ越小惩罚越小，模型包含变量越多，可能导致最终模型过度拟合而可解释性差。所以合适的调整参数可以获得合适的稀疏性。调整参数的估计方法主要有：交叉验证法(Cross Validation, CV)，广义交叉验证法(Generalized Cross-Validation, GCV)和无偏风险估计分析(Unbiased Risk Estimation, URE)。前两种方法适用于观察变量(x,y)分布未知的资料，第三种方法适用于观察变量(x,y)分布确定的资料，但在实际应用中并没有明显差别，可选择最简便的方法进行估计[12]。

2.2 改进的稀疏恢复

(14)

从前文可知，矩阵Φ的大小为LN×LPV。该矩阵的构造思路如下：第1到L行是一个块对角矩阵，第一行的前PV个元素非0，第二行的PV+1至2PV共PV个元素非0，以此类推，第L行的最后PV个元素非0，所以列数为LPV;第1到L行表示的是时刻1的回波信号矩阵形式，那么第L+1到2L行表示的是时刻2的回波信号矩阵形式，以此类推，因为共N个时刻，所以共LN行。

从式(14)可知，φl(n)中与待检测目标有密切关联的一项是vjcos(θi)，其中(θi,vj)是所有可能的组合(θi,vj)(i=1,2,…,P,j=1,2,…,V)中的一个，因为P和V都是尽可能地遍历所有可能的角度和速度，所以必然会出现vj1cos(θi1)=vj2cos(θi2)的情况。如果出现了上述的情况，也就是在利用稀疏恢复时，设计矩阵Φ中出现了完全相同即相关度为1的两列，这时就会对运动目标产生误判。举例说明：假设实际环境中存在1个目标，v=10，且存在2条多径回波，多径角度分别为θ1=0°，θ2=20°，此时通过构造设计矩阵Φ，因为设计矩阵Φ是比较完备的角度与速度的集合，所以其中必然会存在这样一个角度与速度的组合：v′=20，θ′=60°，那么此时对于目标的判断就会出现错误，这个错误就是由于vcos(θ1)=v′ cos(θ′)导致的。

针对上述存在的问题，提出基于LASSO的降维处理方法，处理步骤如下(假设真实的目标有M个)：

步骤1 遍历角度和速度，总共PV个组合构建矩阵Φ。

步骤5 取Δy的均值和方差都最小的速度组合，即可有效去除由于求解过程所产生的虚假目标。

3 仿真结果和性能分析

为了证明多径环境下本文所采用的降维处理方法能够提升目标检测性能，下面通过一些仿真实验，将其与传统的稀疏恢复方法进行对比。

在目标检测场景下，两个远场的点目标以不同的但恒定的相对速度运动，具体的实验参数如表1所示。

表1 OFDM雷达的仿真参数设置Tab. 1 Simulation parameter settings of OFDM radar

为了检验上述稀疏方法的可行性，下面通过一个数值仿真进行验证，两个目标的多径回波信号相对于雷达的角度分别为0°、20°；10°、40°。

本文检测目标是城市环境中的运动目标，城市道路状况下正常行驶的汽车运动速度大概为：50～80 km/h，即13.8～22 m/s。在进行动目标检测时，会对目标的运动速度有一个粗略的认知，所以在进行速度选取时，就可以在认知到的这个速度周围进行选择。下文中的设计矩阵的构建是在5～30 m/s等间隔选取了6个速度值，在0°～60°等间隔选取了7个角度值，目的是为了使构造出的速度角度组合中存在vj1cos(θi1)=vj2cos(θi2)的情况，只有出现了上述情况，那么在利用稀疏恢复时，设计矩阵Φ中才会出现完全相同即相关度为1的两列，这时就会对运动目标产生误判，需要使用基于设计矩阵降维的LASSO算法进行伪目标去除。本文所有仿真结果都是在多次重复实验的基础上得到的。

取P=7和V=6构建矩阵Φ，目标速度取{5，10, 15, 20, 25, 30}m/s，运动目标照射到雷达的角度为{0°，10°,20°,30°, 40°, 50°, 60°}。从第2章的描述可知，散射系数x的稀疏度对∀l有kl=4,所以k=12。

接收机工作特性可以通过如下方法计算得到，在本文的仿真中，所有子载波上遍历点数为LPV=126，其中包含真实目标散射系数的点个数为k=12，剩余(LPV-k)=114个点不含有目标散射系数即零值点。在通过计算机仿真实验后，将散射系数不为零的点的个数记为nT，将k和nT中重复的点的个数记为nD，定义虚假目标个数为nFA=(nT-nD)，那么检测概率(PD)和虚警概率(PFA)表达式如下：

PFA=nFA/(LPV-k)

(15)

PD=nD/k

(16)

下面使用原LASSO稀疏恢复算法对回波信号的散射系数进行恢复，所得结果如图2所示。图2(a)表示真实的散射系数，图2(b)表示通过算法恢复得到的散射系数。从图2中可以看出，使用原有的LASSO稀疏恢复算法去恢复散射系数，会存在错检以及漏检。在每一个子载波上的42个点都是由42种角度速度的组合构成。第一个子载波上，第2个点处的目标发生了漏检，第3和40个点处出现了错检；第二个子载波上，第2个点处的目标发生了漏检，第3和40个点处出现了错检；第三个子载波上，第2个点处的目标发生了漏检，第38和40个点处出现了错检。综合三个子载波所恢复出的散射系数，对应到真实的速度、角度上，可以看出未作修改的LASSO算法判断出了3个目标，速度分别为v=(10,15,20),即出现了错误的判决。

图2 不同载波下真实散射系数与稀疏恢复得到的散射系数对比Fig. 2 Comparison of real scattering coefficients and scattering coefficients obtained from sparse recovery under different carriers

下面使用基于设计矩阵降维的方法，对通过LASSO稀疏恢复算法得到的散射系数进行伪目标的去除，从均值和方差两个角度去对结果进行判别，所得结果如表2所示。

表2 不同速度组合的均值和方差对比Tab. 2 Comparison of mean and variance under different velocity combinations

从表2中可以看出，使用改进的基于降维的LASSO稀疏恢复算法，能够准确判断出实际环境中真实存在的目标速度，而不会产生错检或者漏检。

下面将几种常用的稀疏恢复算法与本文中改进的算法在信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)为-5 dB时进行检测性能的比较，结果如图3所示。从图3可以看出，使用改进的基于降维的LASSO稀疏恢复算法可以获得比其他三种算法更好的目标检测性能，原LASSO和DS算法性能接近，BP算法性能略差。

图3 几种算法的ROC性能曲线对比(SNR=-5 dB)Fig. 3 Comparison of performances of several algorithms in terms of the empirical ROC (SNR=-5 dB)

下面将改进的LASSO稀疏恢复算法与原LASSO算法在虚警概率为PFA=10-1时比较它们在不同信噪比条件下的检测性能。从图4可以看出，使用改进的基于降维的LASSO稀疏恢复算法可以获得比原LASSO算法更好的目标检测性能。随着信噪比的提高，两者的检测概率都会提高，但是改进的LASSO算法性能提升更快更明显。

图4 不同信噪比下检测概率变化曲线(PFA=10-1)Fig. 4 Detection probability with respect to SNR (PFA=10-1)

4 结语

本文基于降维思想优化了稀疏向量恢复处理方法，用来处理在地面多径多目标环境下普通的稀疏处理方法带来的错检或者漏检问题。在OFDM信号测量模型的基础上，将目标的检测问题表示为一个稀疏向量检验问题，并通过稀疏恢复的方法来进行动目标检测。仿真结果验证了采用本文提出的降维处理方法能够显著提升系统的检测性能。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61362006, 61371107), the Natural Science Foundation of Guangxi Zhuang Autonomous Region (2014GXNSFBA118288), the Foundation of Guangxi Key Laboratory of Wireless Wideband Communication and Signal Processing (GXKL061501).

HONGLiugen, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include target detection in multipath.

ZHENGLin, born in 1973, Ph. D., professor. His research interests include wireless sensor network, radar signal processing.

YANGChao, born in 1988, Ph. D. candidate. His research interests include mobile communication, radar communication integration.

Multi-targetdetectionviasparserecoveryofleastabsoluteshrinkageandselectionoperatormodel

HONG Liugen1,2, ZHENG Lin1,2*, YANG Chao1,2

(1.GuangxiKeyLaboratoryofWirelessWidebandCommunicationandSignalProcessing,GuilinUniversityofElectronicTechnology,
GuilinGuangxi541004,China；2.CollegeofInformationandCommunication,GuilinUniversityofElectronicTechnology,GuilinGuangxi541004,China)

Focusing on the issue that the Least Absolute Shrinkage and Selection Operator (LASSO) algorithm may introduce some false targets in moving target detection with the presence of multipath reflections, a descending dimension method for designed matrix based on LASSO was proposed. Firstly, the multipath propagation increases the spatial diversity and provides different Doppler shifts over different paths. In addition, the application of broadband OFDM signal provides frequency diversity. The introduction of spatial diversity and frequency diversity to the system causes target space sparseness. Sparseness of multiple paths and environment knowledge were applied to estimate paths along the receiving target responses. Simulation results show that the improved LASSO algorithm based on the descending dimension method for designed matrix has better detection performance than the traditional algorithms such as Basis Pursuit (BP), Dantzig Selector (DS) and LASSO at the Signal-to-Noise Ratio (SNR) of -5 dB, and the target detection probability of the improved LASSO algorithm was 30% higher than that of LASSO at the false alarm rate of 0.1. The proposed algorithm can effectively filter the false targets and improve the radar target detection probability.

multipath effect; sparse vector recovery; multi-target detection; Least Absolute Shrinkage and Selection Operator (LASSO); Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) signal radar

TN91

A

2017- 02- 24;

2017- 03- 28。

国家自然科学基金资助项目(61362006, 61371107)；广西壮族自治区自然科学基金资助项目(2014GXNSFBA118288)；广西无线宽带通信与信号处理重点实验室基金资助项目(GXKL061501)。

洪刘根(1991—)，男，江苏南通人，硕士研究生，主要研究方向：多径环境下目标检测； 郑霖(1973—)，男，安徽祁门人，教授，博士，主要研究方向：无线传感器网络、雷达信号处理； 杨超(1988—)，男，陕西西安人，博士研究生，主要研究方向：移动通信、雷达通信一体化。

1001- 9081(2017)08- 2184- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2184