数学归纳法常见错题举例

周雨云

[摘 要] 首先对数学归纳法的概念与常见形式进行简单介绍，接着列举了中学生易错的几道用数学归纳法求证的题目，最后对错因进行分析并对学生提出相关的数学解题建议。

[关 键 词] 数学归纳法；易错题；数学解题

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）07-0104-01

一、数学归纳法简介

数学归纳法是指任意给关于自然数n的一个命题P（n），如果P（0）成立，而且对任何自然数n只要P（n）成立便有P（n+1）成立，则命题P（n）對所有自然数n成立。数学归纳法的常见形式有两种：一是数学归纳法的一般形式，即设命题P（m）对于整数m≥m0有意义，其中m0是整数。假定P（m0）成立（这叫奠基）；并且对任何整数m≥m0，如果假设P（m）成立（这叫归纳假设），那么P（m+1）成立（这叫归纳步骤）。则对于整数m≥m0总有P（m）成立；二是串值归纳法，即任意给关于自然数n的一个命题P（n），假设P（0）成立，而且对任何n∈N只要P（0），…，

P（n）都成立便有P（n+1），则命题P（n）对所有自然数都成立。

二、数学归纳法常见错题举例

哈尔滨师范大学的张先达曾在《数学归纳法在中学数学中的应用》（2011）中指出数学归纳法是高中数学中一种常见的论证方法，对一些恒等式、不等式、整除性问题和几何问题的证明有很大帮助，但在很多时候学生的问题就是在于不能真正理解数学归纳法以及存在对数学归纳法应用的思维定势。可惜此文并未對学生常犯的错题与他们犯错的原因进行具体分析。下文便是几道常见的用数学归纳法证明易错的几道题：

【例1】求证：■+■+…+■<1.

【错解】易知当n=1时，结论成立.

假设当n=k≥1时，有■+■+…+■<1，

则当n=k+1时，有■+■+…+■<1+■>1，

从而可知此题无法判断.

【错因分析】此种做法下第二步的不等式放缩的范围太大，从而导致此种情况下学生无法判断结果。

【正确解答】易知当n=1时，结论成立.

假设当n=k≥1时，有■+■+…+■<1，

则当n=k+1时，有■+■+…+■=■+■·（■+■+…+■）<■+■=1.

故知对？坌n∈N+，有■+■+…+■<1成立.

【例2】2n>n2是否对任意都成立？若成立，请证明；若不成立，请求出结论成立时n的值.

【错解】成立.易知当n=1时结论成立.

假设当n=k≥1时，有2k>k2，

则当n=k+1时，有2k+1>2·k2>k2+2k+1=（k+1）2.

故知对？坌n∈N+，有2n>n2成立.

【错因分析】学生只尝试了n=1的情况，发现成立就想当然地认为对任意的n都成立，没有发现当k2>2k+1成立时k需要大于1，从而没有发现结论对n=2，3，4时其实不成立。

【正确解答】易知n=1时，结论成立；n=2时，22=22，结论不成立；

n=3时，23<32结论不成立；n=4时，24=42，结论不成立；

n=5时，25>52，结论成立.

故可猜想n≥5时，结论成立.

易知当n=5时结论成立.

假设n=k≥5时有2k>k2，

则当n=k+1时，有2k+1>2·k2>k2+2k+1=（k+1）2.

故可知？坌n∈N+且n≥5时，有2k>k2成立.

综上n=1及n≥5时，有2n>n2成立.

【例3】求证：■+■+…+■>1.

【错解】易知n=1时，■+■+■>1，结论成立.

假设当n=k≥1时，有■+■+…+■>1，

则当n=k+1时，有■+■+…+■+■>1+■>1.

故可知？坌n∈N+时，有■+■+…+■>1成立.

【错因分析】学生在完成数学归纳法的第二步证明时，从n=k到n=k+1之间应隔了■，■，■三项，而学生由于定向思维并未将题目项与项之间的关系看清楚，从而导致证明过程出错。

【正确解答】易知n=1时，■+■+…+■>1，结论成立.

假设当n=k≥1时，有■+■+…+■>1，

则当n=k+1时，有■+■+…+■>1+■+■+■>1.

故可知？坌n∈N+时，有■+■+…+■>1成立.

三、小结

综合以上例题，我们可以发现学生在用数学归纳法证明命题时出错的本质原因是他们没有掌握数学归纳法的本质概念，只是记住了数学归纳法最浅显的形式，从而会因为这些形式的表象特征形成定向思维而导致题目出错。遇到例1这种情况时，教师应让学生意识到处理n=k+1时式子时并非只有常规一种，也可以对式子进行变形和重新组合已得到合适范围的放缩；遇到例2这种判断是否对任意n∈N+的题目时需要特别提醒学生注意对前几项的验证；遇到例3这种情况，说明学生对题目本身结构没有了解清楚，没有掌握题中n=k与n=k+1的区别。

此外，在徐志军、张青山的《数学归纳法证题过程中出现错误的成因分析》一书中还提出了学生切勿对归纳步骤进行形式的套用，首先应分清楚题目需要的究竟是第一数学归纳法还是串值归纳法。

参考文献：

[1]徐志军，张青山.数学归纳法证题过程中出现错误的成因分析[J].川北教育学院学报，2002（2）：49-50.

[2]刘德树.数学归纳法证题常见错误剖析[J].沧州师范专科学校报，2008（9）：128-130.

[3]张先达.数学归纳法在中学数学中的应用[J].经济研究导刊，2011（12）：304-305.

[4]孙智伟.基础数论入门[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014.