浅谈高中数学中数列求和的方法

狄春燕

【摘要】数列前n项和是高中数学必修五的重点内容，也是高考的重点考试内容。然而在平时做题时，往往我们容易理解并计算等差数列和等比数列的前n项和，但是对既不是等差数列又不是等比数列的前n项和显得有难度，不知从何入手，尤其是裂项相消法和错位相减法经常会计算出错。这就要求我们从数列的通项入手，观察其特征从而选择不同的方法，这样才可以更简洁地解决问题。

【关键词】高中数学；数列求和；裂项相消法；错位相减法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0284-01

1.公式法——如果通过题目的已知条件我们可以判断出数列是等差或者等比数列，那么我们就可以直接利用等差或者等比数列的前n

项和公式进行计算。

例1：在等差数列{an}中，Sn表示其前n项和，，

则S9=______________.

解：由等差数列的性质知，所以，即 ；

故由等差数列的前 项和公式得：.

2.分组求和法——有一类数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例2：已知数列{an}的前n项和，求Sn.

解：由题知

.

3.裂项相消法——这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

例3：等比数列{an}的各项均为正数，且.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和Tn.

解：（1）设数列{an}的公比为q，由得，所以；

由条件可是q>0，从而，所以由得；

故数列{an}的通项公式为.

（2）

，

.

4.错位相减法——这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，它主要适用于如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列的前n项和时的方法。

例4：已知数列{an}是等比数列，且，数列{bn}是首相为1的等差数列，并满足.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Sn.

解：（1）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，

则由已知条件得：，从而解得

；

所以.

（2）由（1）知，所以

①

②

①-②得：

从而.

5.倒序相加法——如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法；其实质就是可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前n和。

例5：已知函数，数列{an}中，

求数列{an}的前n项和Sn.

解：，

，设①

则②

①+②得：，所以，即.

參考文献

[1]康司麒.浅析高中数学中数列求和的若干种方法[J].中外交流，2017年6期.

[2]郭建理.对比复习等差数列和等比数列[J].中学生数理化，2011年10期.endprint