基于空间变换的含风电场和电动汽车配电网概率潮流计算

朱张涛，陈豪杰，戴俊杰，李卫彬，李 雪



基于空间变换的含风电场和电动汽车配电网概率潮流计算

朱张涛1，陈豪杰2，戴俊杰1，李卫彬1，李 雪2

（1国网上海市电力公司长兴供电公司，上海 201913；2上海大学自动化系，上海市电站自动化技术重点实验室，上海 200072）

电动汽车和分布式发电的广泛接入增加了现代配电网的复杂性，同时输入随机变量的相关性对配电网的影响也越来越大。基于此，本文采用Nataf变换或者三阶多项式正态变换实现变量从相关非正态空间到相关标准正态空间的转换，采用初等变换或者正交变换实现变量从相关标准正态空间到独立标准正态空间的转换，从而得到标准的点估计运算所需的相互独立输入随机变量，进而建立了能用2+1点估计方法求解的概率潮流模型，从而解决了相关输入随机变量的概率潮流问题，以实现含电动汽车的有源配电网系统的仿真运行分析。最后，在一个含风电和电动汽车的IEEE-33节点配电网中进行算例仿真，比较四个方案处理输入随机变量相关性的有效性。算例分析表明，Nataf变换结合初等变换具有最好的精度。

电动汽车；风电场；配电网；相关性；点估计；概率潮流计算

概率潮流问题（probabilistic load flow，PLF）由BORKOWSKA[1]于1974年提出，其核心思想是综合考虑各种输入随机因素，应用概率理论来描述、分析电力系统的稳态运行特性。概率潮流求解方法众多，蒙特卡罗模拟法[2]（Monte Carlo simulation，MCS）能够全面对随机变量进行模拟分析，精确度高，但是计算颇为耗时，一般将其作为评价各种算法优劣的标准。点估计法[3]（point estimate method，PEM）是一种根据已知随机变量的概率分布，求取待求随机变量阶矩的概率统计方法，计算量小，避免潮流方程线性化，在PLF问题中得到了大量的应用。

同时，随着电网的发展和新能源的不断接入，以及运行调度等导致电网输入变量之间的相关性越来越显著，如风速的区域相关性、负荷之间的相关性等。文献[4]提出了Nataf结合MCS方法来处理考虑变量相关性的PLF问题，但是MCS计算需要消耗大量的时间。文献[5]提出了正交变换（orthogonal transformation，OT）结合PEM方法，但是OT变换建立在变换前后相关性不改变的前提下。文献[6]提出了三阶多项式变换法（three polynomial normal transformation，TPNT）进行概率潮流计算。

为此，本文着眼于配电网中输入随机变量之间的相关性，考虑采用Nataf变换或者TPNT变换来实现变量从相关非正态空间（correlated non-normal random vector space，CNNRVS）到相关正态空间（correlated standard normal random vector space，CSNRVS）的转换，采用初等变换（elementary transformation，ET）或者OT变换来实现变量从相关正态空间到独立正态空间（independent standard normal random vector space，ISNRVS）的转换，采用两两组合的方式进行相关性处理，进而建立了能用2+1点估计方法求解的概率潮流模型，从而解决了相关输入随机变量的概率潮流问题，以实现含电动汽车的有源配电网系统的仿真运行分析。最后，针对一个含电动汽车和风电的IEEE-33节点配电网进行仿真运行分析，并与MCS法进行对比，得出最优的相关性处理方案。

1 电动汽车模型及风力机模型建立

1.1 电动汽车充电模型

根据文献[7]，电动汽车（electric vehicle，EV）开始充电时刻为最后一次出行返回时刻，开始充电时刻满足如下正态分布，其概率密度函数为

单台电动汽车充电所需要的时间长度为

根据电动汽车的日行驶里程概率密度函数与单台电动汽车充电时长函数，有

综上所述，得出充电时长的概率分布如表1所示。可知，充电7 h的累积分布为0.992，与动力电池最大充电时长7 h基本吻合。

表1 充电时长概率分布

如图1所示为电动汽车24时间段的充电功率需求，具体某刻的充电功率需求可用式(6)描述

1.2 风力机模型

风力机的输出功率由风速这一随机变量所决定，在风速的长期预测中，可以用两参数的Weibulll分布模型来模拟风速概率分布[9]，其概率密度函数为

式中，表示风速；和为Weibulll分布的两个参数，称之为形状参数，称之为尺度参数。

风力机组的输出功率和风速之间的关系可以用式(8)所示的分段线性函数表示。

考虑在配电网中存在多个风力机接入点且假定风速服从同一个Weibull分布。不同接入点之间存在着微小的差异，应当考虑接入点之间风速的相关性。由于较难获得具有相关性的风速历史数据，这里采用矩阵变换法[10-11]来模拟生成具有指定相关系数的风速序列样本：

通过上述一系列矩阵变换，即可获得风速序列，且该风速序列具有指定的风速相关性。

2 变量相关性的转换处理方法

标准的点估计运算需要输入相互独立的随机变量，因此，针对相关非正态随机输入量（服从Weibull分布的风速），可以通过Nataf法或TPNT法来实现随机变量从相关非正态变量空间到相关标准正态变量空间的转换。然后通过正交变换或初等变换[12]来实现随机变量（经过Nataf法或TPNT法变换处理后的风速以及具有相关性的负荷）从相关标准正态变量空间到独立标准正态变量空间的转换。

2.1 Nataf变换

对于边缘分布函数和相关系数已知的相关非正态随机变量，Nataf变换可以实现其从相关非正态变量空间到相关标准正态变量空间的转换[13-14]。

2.2 三阶多项式正态变换

TPNT[15-16]理论是利用统计矩和相关系数矩阵来构建随机变量的相关多元分布模型。

上述变换仅仅完成了将非正态随机变量变换为正态随机变量。接下来考虑相关系数的转换处理办法，对于维随机变量，设表示和之间的相关系数。

2.3 正交变换

根据式(23)、(24)有

2.4 初等变换

引理1[18]：假设是一个维非负实对称矩阵。那么总存在一个维可逆矩阵，使得可以通过下式转换为对角阵，即

引理2[18]：如果是一个维非负对称矩阵，那么也是一个非负对称矩阵，其中是可逆矩阵。

引理3[19]：如果存在维可逆矩阵满足式(27)，则式(28)也满足。

3 基于点估计的配电网概率潮流计算

3.1 点估计理论

PEM求解含风电、电动汽车的配电网PLF的基本思想为[3,5]：假定输出随机变量（节点电压、节点功率、支路潮流等）是个输入随机变量（负荷有功、负荷无功、电动汽车充电需求有功、电动汽车充电需求无功和风速）的函数。根据输入随机变量的数学特征来求取输出随机变量的数学特征，即

PEM中的2+1方案通过使用3个变量来对随机变量量进行估计。当时，三个位置度量中一个是0。

3.2 算法步骤

（1）生成服从正态分布且相关系数为0.9的常规负荷数据样本。生成服从正态分布的电动汽车充电功率数据样本，考虑功率因数为0.95。

（2）生成服从同一个Weibull参数且具有指定相关系数的风速矩阵，并利用Nataf变换或者TPNT变换，把服从相关非正态分布（两参数Weibulll分布）的风速转化为服从相关正态分布。

（3）把步骤1和2得到的服从正态分布数据进行OT或者ET变换，将其转化为独立随机变量。

（4）计算点估计法所需要的位置度量和概率集中度，并且构建2+1点估计法所需要的点。

（5）利用OT或ET的逆变换过程，将步骤4中生成的点从ISNRVS转化为CSNRVS。

（6）利用Nataf或者TPNT法的逆变换过程，将步骤（5）中的风速数据转换为非正态分布空间（Weibulll分布）。并根据风速-功率转换公式，得到风力机有功出力，其无功按照有功无功特性 获得。

（7）执行2+1点估计法进行PLF计算（简化EV和风力机注入功率的处理方式，采用直接注入的方式，EV需求按照正值注入，风力机出力按照负值注入）。

（8）根据潮流计算结果，按照评价指标计算各节点电压期望误差、标准差误差，以及期望和标准差的平均相对误差。

4 基于点估计的配电网概率潮流计算

本文采用一个IEEE-33节点的配电网[20]进行算例分析，如图2所示。系统容量为3715+2300 kVA，基准容量为10 MVA，基准电压为12.66 kV，松弛节点的电压值为1 p.u.。并按照如下步骤对常规负荷、电动汽车负荷和风力机进行假设处理。

（1）假定负荷服从正态分布，原始数据为期望，标准差取期望值的5%，相关系数为0.9。

（2）假设电动汽车全部在节点7进行充电，且充电需求功率服从正态分布，均值和标准差由电动汽车概率统计建模生成（取充电需求功率最大时刻数据），取电动汽车数量为200辆。

（3）风力机接入点为15、25和30，每个接入点包含5个等参数的双馈感应风力发电机，额定功率为100 kW，切入风速为3 m/s，额定风速为12 m/s，切出风速为25 m/s。假定风速服从两参数Weibulll分布（），风力机接入点之间风速存在相关性，其相关性系数[21]为

为了说明处理输入随机变量相关性方案的有效性，采用表2所示的方案进行算例分析。

表2 四组方案

针对配电网的PLF问题，采用2+1点估计法进行计算，并用MCS法进行对比，以电压幅值的均值和标准差为指标。在分析PEM计算精确性时候，评价指标的计算方式[22]为

表3提供了电压幅值在各个处理相关性方案下的平均误差情况。图3和图4为节点11在各个方案下电压幅值的概率密度函数图（probability density function，PDF）和累积分布函数图（cumulative distribution function，CDF）图，其中2+1方法采用“”准则确定区间上下限，MCS则采用10000次采样的最大最小值为上下限，故两者的区间上下限存在一定的差别。

表3 四组方案的平均误差

从表3中，可以发现方案1中的平均相对误差最小，方案3次之，方案2和4的平均均值误差接近，偏差在一个数量级，且均很小，但是平均标准差存在较大差异，认为方案2的结果最差。

图3和图4是分别利用2+1点估计方法和MCS法进行PLF计算，节点11在各个方案下电压幅值图。观察图3的PDF图中两种不同PLF计算方法结果的拟合情况，可以发现方案1高度拟合，方案3次之，方案2和4的接近且比较之拟合度最差。同样的，观察图4的CDF拟合情况，能得到一致的结论。

5 结 论

本文介绍了处理配电网潮流计算输入随机变量相关性的不同方案，包括Nataf变换/TPNT变换与ET变换/OT变换两两组合的，共计四种不同的组合方案。结合点估计中的2+1法，把不同的方案应用在含风电、电动汽车的配电网PLF问题中。在IEEE-33节点系统中对所提出的方案进行有效性验证，并与MCS方法进行结果对比。

（1）由分析电压幅值在各个处理相关性方案下的平均误差情况，可知方案1中的平均相对误差最小，即Nataf+ET组合；方案3次之，即TPNT+ET组合；方案2和4的平均均值误差接近，偏差在一个数量级，较之方案1和方案3平均误差最大，即Nataf+OT组合和TPNT+OT组合。综上可以得出Nataf变换和ET变换组合方案在解决配电网PLF问题中的有效性和精确性。

（2）由分析2+1点估计和MCS法下的节点11电压幅值的PDF和CDF拟合情况可知，Nataf+ET方案组合（方案1），具有最高的拟合度；TPNT+ET组合方案（方案2）次之；Nataf+OT方案组合（方案2）和TPNT+OT方案组合（方案4）较之于方案1和方案3，PDF和CDF拟合度较差。亦可得出Nataf变换和ET变换组合方案在解决配电网PLF问题中的有效性和精确性。

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Probabilistic load flow calculation of distribution network with wind power and electric vehicles based on space transform

ZHU Zhangtao1,CHEN Haojie2,DAI Junjie1,LI Weibin1,LI Xue2

(1ChangxingPowerSupplyCompany, SMEPC, Shanghai 201913, China;2Department of Automation, Shanghai Key Laboratory of Power Station Automation Technology, Shanghai University, Shanghai200072, China)

The use of electric vehicles and distributed generation increases the complexity of modern distribution network. This is made more serious with more correlated input of random variables. In this study, we use the Nataf transformation, also called the third order polynomial normal transformations, to transform random variables from a correlated non-normal random vector space (CNNRVS) to a correlated standard normal random vector space (CSNRVS), and use the elementary transformation, also called the orthogonal transformation, to transform random variables from CSNRVS to independent standard normal random vector space (ISNRVS). These lead to the random independent input variables to execute the probabilistic load flow calculations using a 2+1 point estimate method. Examples was made to simulate an IEEE-33 distribution network with wind power and electric vehicles. Comparison was made between four cases for the correlation among random input variables. The results showed that the Nataf transformation combined with elementary transformation gave the best accuracy.

electric vehicles; wind farm; distribution network; correlation; point estimate method; probabilistic load flow calculation

10.12028/j.issn.2095-4239.2016.0075

TM 732

A

2095-4239（2017）01-127-08

2016-09-27；

2016-12-01。

国家自然科学基金（61533010）及上海市自然科学基金项目（14ZR1415300）。

朱张涛（1988—），男，硕士研究生，助理工程师，研究方向为电力系统潮流分析，E-mail：zzt880115@163.com；

李雪，副教授，主要研究方向为电力系统优化，E-mail：lixue@shu.edu.cn。