相对运动体系的对称变换及引力场

黄风义

(东南大学信息科学与工程学院, 南京 210096)

相对运动体系的对称变换及引力场

黄风义

(东南大学信息科学与工程学院, 南京 210096)

针对真空中波动波源和接收者之间相对运动所导致的频率偏移需满足相对运动对称性条件的问题,通过引入对称因子,构造了高速相对运动体系的对称变换．考虑引力场作用时,受引力传递有限速度的推迟影响,需考虑相对运动的对称性条件．在2个质量体相互高速运动时,参考电磁场的洛伦兹变换,对经典牛顿引力定律的推迟势进行对称变换,推导出额外的质量引力作用,以分析经典理论无法解释的引力现象,包括水星近日点的反常进动,光波频率在引力场中的偏移、光线在巨大质量引力作用下的路径弯曲、引力辐射等．所得到的水星进动、引力辐射结果和广义相对论一致,光线偏折则不同于传统理论的结论,有待实验观测进一步验证．

高速运动;引力场;对称变换

Abstract: When the relative motion between the source and the observer for wave oscillations in the vaccum is considered, the frequency shift induced by the movement has to satisfy the symmetrical condition. By introducing the symmetry factor, a symmetric transformation for the high-speed relative motion system is constructed. Due to the finite propagation speed of the gravitational field, the symmetrical condition has to be considered. Similar to the Lorentzian transformation of the electromagnetic field, when two masses are under relative motion, the classical Newton’s gravitational law can be modified based on the retarded potential with a symmetrical transformation, and the resultant additional gravitational interactions between the two moving objects can analyze some gravitational phenomena that cannot be explained by classical theories including the anomalous precession of the perihelion of planets, light deflection by gravity, gravity-induced frequency shift of photons, and gravitational radiations. The derived anomalous precession of perihelion and the gravitational radiation are in consistent with general relativity, while the light deflection angle is different from the conventional result, which should be confirmed by future experimental observations.

Keywords: high speed movement; gravity; symmetrical transformation

对于光波等波动现象,当真空中运动的波源和接收者之间具有对称性,无法分辨是波源还是接收者在运动时,运动引起的频率偏移(多普勒效应)需要满足对称条件．在此基础上,可以构造满足对称性要求的相对运动体系的运动学规律．将相关分析拓展到引力作用,可以构造满足对称性要求的引力推迟势．

在牛顿万有引力定律作用下,太阳系的行星按照椭圆(近似圆周)轨道运行．对于水星等距离太阳较近的几颗行星,轨道近日点会发生进动．考虑太阳以及其他行星的微扰后,水星有额外43.11″/世纪的进动角,无法被经典引力理论所解释．利用爱因斯坦的广义相对论,可根据简化后的方程得到此额外进动角．另外,对于光线经过太阳表面发生偏折的角度,广义相对论的计算结果比经典理论大1倍[1-3]．以上是支持广义相对论的2个重要证据．利用广义相对论进行推导的过程比较复杂．本文通过对经典引力定律进行对称变换,推导出运动状态下满足洛伦兹变换的引力场方程,计算结果与观测数值吻合较好．

1 相对运动的对称性及引力场

对于实体媒质中的机械波等波动(包括水的表面波、声波等),接收者静止,波源朝向接收者以速度v相对运动时的频率为ω1=ω0/(1-v/c0),其中ω0为相互静止时的频率,c0为波在媒质中的传播速度．当波源不动、接收者朝向波源运动时,频率ω2=(1+v/c0)ω0．

对于真空中传播的光波,光源和接收者相对运动时,缺少其他参照来区分是光源还是接收者在运动,而只能说明二者以等值、反向速度相对运动．通过引入对称因子γ0,可使频率偏移具有相同数值,即ω1=ω0/[(1-v/c)γ0]=ω2=γ0(1+v/c)ω0,其中,c为光速,γ0=1/(1-v2/c2)1/2为洛伦兹因子．

对时空坐标(x,t)进行类似对称变换,在以速度v运动的参照系的时空坐标下,t′=γ0(t-t0),x′=γ0(x-vt)．除了经典的线性依赖关系(伽利略变换,γ0=1,t0=0)之外,还存在另外一组γ0不等于1的解(二次方依赖关系),具有相对运动的对称性(或不可分辨性)．以此为基础,可以构造超高速或近光速运动学体系,而不需要借助传统狭义相对论的光传播思想实验．

牛顿引力定律F=-GmM/r2是一个静态方程,适用于相对静止的2个质量分别为m和M的物体,其中,r为2个物体之间的距离,G为万有引力常数．2个物体相对运动时,需要考虑引力作用传递的有限速度,观测结果显示引力传递速度和光速c相同．

参考运动电荷q(r,t)产生的推迟势,V(r,t)=kq/r′=kq/(r-r·v/c),其中,k=1/(4πε0),ε0为真空介电常数[4],下面分析不同相对运动状态下推迟势的形式．假设矢径r和速度v在同一直线,位于位置P(r,t)处的点源,沿r正向以速度v运动,观测场点Q位于原点．以q/(4πε0)为单位,点源运动时电荷q的电势φ1(r,t)=1/r1,其中,r=r1(1+v/c),φ1(r,t)=1/r1=(1+v/c)/r．如果点源不动、场点运动,得到推迟势φ2(r,t)=1/[r(1-v/c)]．当v≪c时,以上2种电势近似相等;当v很大时,二者不等．

当点源和场点相对运动不可分辨时,2种电势相等．令φ1(r,t)=γ(1+v/c)/r=φ2(r,t)=1/{γ[r(1-v/c)]},得到对称因子γ=1/(1-v2/c2)1/2．

质量引力的标势和矢势构成洛伦兹变换下具有对称性的4维矢量,E和Em构成洛伦兹变换下对称的4维张量．静止和运动参照系通过洛伦兹变换联系起来,当E∥,Em∥和E⊥,Em⊥分别代表平行、垂直分量时,运动和静止的2个参照系之间存在如下关系:E∥=E0∥,Em∥=Em0∥,E⊥=γ(E0+v×Em0)⊥,Em⊥=γ(Em0-v×E0/c2)⊥．

运动时的引力场E=-erGM(1-v2/c2)r/[(v2/c2)r2+(v·r)2/c2]3/2=T(v,θ)E0,其中,T(v,θ)=(1-v2/c2)/[1-(v2/c2)sin2θ]3/2,E0=-er(GM)/r2为牛顿引力,er为单位矢径．Em=v×E/c2,当v≪c时,Em≪E．当运动方向和矢径近似垂直时,sinθ≈1,E=E0/(1-v2/(2c2))1/2=E0(1+v2/(2c2))=E0+E1．

当速度为零时,E=E0,Em=0,E为经典力场．当速度很大,v≈c时,平行速度方向有E≈(1-v2/c2)E≪E0;垂直速度方向有E=γE0≫E0．高速运动点源的力场是跟随点源运动的引力脉冲(类似于冲击波或激波)．在点源速度垂直的切向平面,当点源掠过观察者视线时,引力场激波的波前掠过观察者,随点源远离而消失．高速运动的巨大质量产生引力脉冲,可将其作为探测引力波的一种方便手段．

考虑加速度后,Em=GM(v×er)/(c2r2)+GM(a×er)/(c3r),其中a为加速度,第1项包含v/c2,随1/r2衰减,在低速、远距离时可忽略．对于向心力作用下的椭圆轨道,加速度沿半径方向,(a×er)≈0,所以第2项为0．加速度导致的额外引力场只包含标势梯度项,即E2=-erGM(a·er)/(rc2)=-erGMa/(rc2)．对于近似圆周运动,有a=erGM/r2．

当速度和矢径垂直、加速度和矢径同向时,E=E0+v2/(2c2)E0-erGMa/(rc2)=E0+v2/(2c2)E0-er(GM/c)2/r3=E0+v2/(2c2)E0+[(GM/r)/c2]E0=E0+ζ0(v2/c2)E0,其中,ζ0=3/2．额外引力可以通过对经典引力进行洛伦兹变换以及对推迟标势求梯度得到．

2 计算结果

2.1 行星进动

(1)

式中,u=1/r;u0=GM/H2．方程(1)的通解为u=(1+ecosφ)/p0,其中,半正焦弦p0=1/u0=H2/(GM),e为偏心率,由边界条件决定．太阳系中行星的椭圆轨道偏心率e很小(如水星e≈0.20),接近正圆．

(2)

式中,u01为常数;η1=6u0(GM/c2)．在无微扰的情况下,方程(2)的解是一个快速变化的简谐函数cosφ;在存在微扰的情况下,方程(2)的解则被一个缓慢变化的周期函数cos(δφ)cosφ所调制,u=1/p+(e/p)cos[(1-δ)φ]．根据轨道方程(2)可得,δ=η1/2=3GM/[a0(1-e2)c2]．一个周期内的额外进动角为

式中,a0为半长轴．以上结果与水星进动的观测值(43.11″/世纪)以及广义相对论的结论相符[5]．类似地,如果考虑u2项修正,对应的轨道方程为d2u/dφ2+u=u0+η2u2,η2=3GM/c2,采用类似的调制函数cos(δφ)cosφ可得到同样进动角．

2.2 光子在引力场中的频率变化

根据质能关系以及光的量子化,光子具有等效质量(静止质量)m0,且ε=hν0=m0c2,即m0=hν0/c2,其中,ε为光子能量,h为普朗克常数,ν0为频率．在弱引力场下,光子等效质量不变．当运动方向和矢径在同一直线时,质量为M的引力场对光子做功,dW=Fds=m0E0ds0=hdν,则有Δν/ν=dW/(hν0)=E0ds0/c2．

(3)

式中,k0=GM/(R0c2)为太阳的光子引力场常数．计算结果k0=2.12×10-6与广义相对论相同．

2) 引力蓝移,即光子趋近引力源．当光子位于地球表面且距离地面不是很高时,引力势能变化和高度差ΔH成正比,即ΔU=m0gΔH=Δε．由此可得,hΔν=m0gΔH,则频率变化率为

(4)

式中,Me为地球质量;Re为地球半径;ke=GMe/(Rec2)．

3) 超常频移．对于质量和半径之比很大的天体(超高密度天体),需要考虑光子质量随引力的变化．假设光子质量变化随光子能量变化满足比例关系,则有Δν/ν0=1-exp[GM/(R0c2)]．当k0很小时,回归传统结果(Δν/ν0)=-GM/(R0c2)．当M/R0很大,k0接近或大于1时,频移将大于广义相对论的结果．由此可为某些类星体的巨大红移提供新的可能解释．

2.3 光线偏折

当光子速度和引力方向有倾角时,引力可能使光线轨迹方向发生偏折．采用经典引力有F=-Gm0M/r2,m0=hν/c2．选取太阳中心O作为坐标原点,轨道上某点P(r,φ)和圆心联线的径向为r,和x轴的夹角为φ．在1/r2的向心引力作用下,光子轨道为双曲线．根据光子质能关系ε=m0c2,得到类似于比耐方程的轨道方程,且具有通解u=Acosφ+Bsinφ+u1．根据特殊点的渐近行为,可以确定通解中各系数．例如,对于轨道近日点,有φ=π/2,r=R．代入通解u=Acosφ+Bsinφ+u1=B+u1=1/R,得到B=1/R-u1．根据无穷远处两侧光线的渐近行为,可以确定其他系数之间的关系．光子经过太阳周围总偏折角为α=2α1,其中,sinα1=1/e1,偏心率e1={1/(2k0)+[1/(2k0)2+4(1+1/(2k0))]1/2}/2=1/(2k0)+1,k0=GM/(Rc2),R为光线掠过但不接触太阳时距离太阳的最短距离．

对于双曲线类型的光子轨迹,上述引力引起的光线偏折角为严格解．当k0≪1时,在小角近似下,α≈4k0,简化为广义相对论的结果,与部分观测值接近(经过太阳的偏折角为1.7″)[5]．当天体质量与半径之比很大(即k0接近1或者大于1)时,在施瓦兹(Schwartzchild)度规下,广义相对论的近似结果将不再正确．光线偏折角将为光子与引力场之间的相互作用提供机制验证．另外,传统观点曾认为,经典牛顿理论得出的偏转角为相对论结果的1/2．实际上,采用经典理论推导时出现了简单的计算错误,遗漏了光线在另外一边的偏折,并应用了错误边界条件,而与采用何种理论没有直接关系．

2.4 引力辐射

以脉冲双星PSR B1913+16为例,伴星质量m1=1.387m0(m0为太阳质量),主星质量m2=1.441m0,远心距rp=4.529 1r0(r0为太阳半径),近心距ra=1.072 2r0,半长轴a=2.803r0,周期T=7.752 h,偏心率ε1=0.617 1,采用双星平均距离a1=(a+p)/2以及平均质量,利用圆周运动估算的辐射功率与文献[6]中数据在同一数量级．

通过适当的缩放因子,将电磁场的正、负电荷和质量做如下对应:q1=ρm1,q2=ρm2,其中,ρ2=G/(4πε0),c2=1/(μ0ε0),那么q1q2/(4πε0)=ρ2m1m2/(4πε0)=Gm1m2．相当于在电磁场方程中把1/(4πε0)用G替换,电荷q用对应质量m替换,引力场和电磁场相互对应．引力场的变化将产生引力波,其特点和电磁波几乎相同,根据行星的进动角度推断引力波速度和光速相同．

2.5 其他引力现象

在适当条件下,例如高密度或大质量的天体(如中子星、黑洞、微观粒子等)周围,引力场将具有量子化,即En=nhmν,其中hm为引力场量子化常数(初级考虑可假设其等于普朗克常数)．在球对称的中心引力场中,En=E1/n2,E1=-m(GmM)2/(2ħ2)．某些情况下,可以观测到不同于传统热辐射以及原子中电子量子轨道的辐射,具有窄频谱特性,并出现类似于磁通量的量子化条件、量子凝聚及波函数远程相干等效应．对于通常的微观粒子,微小质量导致量子化能级间距很小,难以观察．对于经典牛顿引力,围绕巨大中心体(如太阳)旋转的小质量物体(如行星),在运动方程中小质量物体的质量被消除,方程解和旋转物体的质量无关．鉴于引力场的量子化,围绕巨大中心体旋转的运动物体(如伴星、中子、电子等)的能量以及波函数(等效质量密度)分布及运动状态可能和质量m有关,这可以作为探索引力量子化的一种有效手段．

对于质量比半径(M/R0)很大的超高密度天体,考虑超高速运动后,经典引力F=-GmM/r2在能量表象下将拓展为指数形式,即v2/c2=1-exp[2GM/(rc2)]=1-exp(2k0R0/r),并对物质运动产生不同于传统广义相对论的影响．当k0很小时,v2=-2GM/r,回归传统形式．对于光子同样需要考虑指数势的影响．在超短距离、速度很高的情况下,将出现等效排斥力E=(GM)5/2/[c3r7/2(1-v/c)2],如图1所示．超短距离产生的等效排斥力使物质可以克服各种形式的引力,而不会产生完全零尺度的数学奇点．同样情况适用于距离异常靠近的异种电荷．

图1 等效势、引力(或排斥力)随距离变化的示意图

3 结语

本文构造了满足对称性要求的相对运动体系的运动学变换以及引力场方程,部分计算结果和观测结果接近．此外,对引力场的某些属性做出了预测,有待未来验证．

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Symmetricaltransformationandgravitationalfieldsforsystemswithrelativemotion

Huang Fengyi

(School of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

O314

A

1001-0505(2017)05-0861-05

2017-03-02.

黄风义(1964—)，男，博士，教授，博士生导师，fyhuang@seu.edu.cn.

黄风义.相对运动体系的对称变换及引力场[J].东南大学学报(自然科学版),2017,47(5):861-865.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.05.004.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.05.004