数列组的广义仿射线性相关性研究

冯志新

（吉林师范大学，吉林 四平 136000）

数学与信息科学

数列组的广义仿射线性相关性研究

冯志新

（吉林师范大学，吉林 四平 136000）

给出了数列组的广义仿射线性相关性与仿射线性相关性、数列组之间广义仿射线性表出和等价与仿射线性表出与等价的概念，探讨了它们之间的关系,并得到了一些判断数列组广义仿射线性相关性与仿射线性相关性的充分与必要条件。同时，给出了几个性质定理，证明了广义仿射线性表出和仿射线性表出具有传递性。

数列组；广义仿射线性相关；仿射线性相关；广义仿射等价；仿射等价

0 引言

文献[1]和[2]给出了向量组的线性相关性的概念和一些重要结论。文献[3]给出了强线性相关性的概念和结论。文献[4]和[5]将仿射和强仿射的概念引入到向量组中。文献[6]和[7]将线性相关性和广义线性相关性引入到数列组中。在以上研究基础上，将向量组的有限维的情形推广至数列组的无穷维，将仿射线性相关性质引入到数列组上，同时推广到广义的情形是十分必要的。

1 定义

为了叙述方便，文中出现的数、数列和数列组均是定义在实数域R上的，后面不再指出。

定义1.1 对于数列 { yn}与数列组 A : { x1n}，{x2n}，…，{xmn}，若存在常数a，以及一组不全为零的m个数1， ，…， ，有j=1，2，3，…，则称数列可由数列组A广义仿射线性表出，或称数列 { yn}为数列组A的一个广义仿射线性组合数列。当a=0时，称数列{ yn}为数列组A的一个齐次广义仿射线性组合，或仿射线性组合；当a≠0时，称数列{ yn}为数列组A的一个非齐次广义仿射线性组合。

定义1.3 设A与B为定义在数域F上的数列组，若数列组B中的任一数列都可以由数列组A广义仿射线性表出，则称数列组B可以由数列组A广义仿射线性表出。

定义1.4 设A与B为定义在数域F上的数列组，如果A与B可以互相广义仿射线性表出，则称数列组A与B广义仿射等价。

2 主要结果

不妨设 λm≠ 0 ，且有 λm= - λ1- λ2- …- λm−1，于是有

证明 首先证明定理的必要性。设数列组A广义仿射线性相关，则对于 j=1，2，3，…，总存在常数a，与一组不全为零的m个数 λ1, λ2,⋅ ⋅ ⋅,λm，使得在数列组A中任取一个数列 {xkn}，则有于是

对于定理的充分性，由已知，对于 j=1，2，3，…，一定存在常数a，与不全为零的m-1个数 λ1, λ2,⋅ ⋅ ⋅,λk−1, λk+1,⋅ ⋅ ,λm∈F，使得

证明 不妨设 { xkn}即为 { xmn}，而{xm−1,n− xmn}≡C为常数数列，则对于 j=1，2，3，…，取常数 a=-C，与不全为零的m-1个数 λ1=λ2=⋅⋅=λm−2= 0 ,λm−1=1，使得

即有B : { x1n− xmn} ,{ x2n− xmn} , ⋅ ⋅,{ xm−1,n−xmn}广义线性相关，并且

令 λm=−1，则有故数列组A广义仿射线性相关。

推论2.3 若数列组A : { x },{ x }, ⋅ ⋅,{ x }(m ≥2)中存在两个相同数列，则A仿射线性相关。

定理2.4 已知数列组 A : { x1n} ,{ x2n} , ⋅ ⋅⋅, {xmn}，B : { y1n} ,{ y2n} , ⋅ ⋅⋅, {ysn}与数列 { zn}，若 { zn}可由A广义仿射线性表出，A可由B广义仿射线性表出，则{zn}可以由B广义仿射线性表出。

证明 已知 { zn}可由A广义仿射线性表出，则对于 j=1，2，3，…，存在常数a，以及一组不全为零的m个数 λ1, λ2,⋅ ⋅ ⋅,λm，使得

又A可由B广义仿射线性表出，则对于每一个数列 { xin}存在常数 bi，i=1，2，…，m，以及不全为零的数 μi1，μi2，…，μis，i=1，2，…，m，使得

且有

推论2.4 已知数列组A，B与C，若A可由B仿射线性表出，B可由C仿射线性表出，则A可由C仿射线性表出。

［1］北京大学数学系.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，2013.

［2］张禾瑞，郝炳新.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］杨闻起.强线性相关性与弱无关性［J］.宝鸡文理学院学报，2009，29（2）:1-3.

［4］香花.关于仿射线性相关性的探讨［J］.数学实践与认识，2012，42（7）:219-225.

［5］香花.强仿射线性相关性与强线性相关性［J］.安徽师范大学学报，2013，36（3）:211-215.

［6］杨建华.数列组的齐次线性相关性［J］.武汉工程大学学报，2009，31（9）:81-82.

［7］杨建华.数列组的广义线性相关性［J］.武汉工程大学学报，2009，31（12）:79-81.

Research on the Generalized Affine Linear Correlation of Sequence Group

FENG Zhi-xin
(Jilin Normal University,Siping 136000，China)

In this paper，the generalized affine linear correlation of sequence group，the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups are given.It discusses the relationship between them and gets some sufficient and necessary condition judgments of the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups.The judgment theorems and property theorems are given.And the paper proves the transitivity of the generalized affine linear table out and affine linear table out.

sequence group；generalized affine linear correlation；affine linear correlation；generalized affine equivalence；affine equivalence

O151

A

1674-3229（2017）03-0005-03

2017-01-05

国家自然科学基金项目（71501082）；四平市科技局项目（2014064）

冯志新（1979-），女，硕士，吉林师范大学数学学院副教授，研究方向：基础数学。