离散和分布时滞微分差分系统的稳定性

(西安财经学院 陕西 西安 710100)

离散和分布时滞微分差分系统的稳定性

孟圆伟姬领

(西安财经学院陕西西安710100)

时滞系统是由泛函微分方程来表达的.它有着广泛的应用，它涉及许多学科中的众多领域，如人口理论，医学问题，生物学等。

本文应用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，对离散和分布时滞微分差分系统的稳定性进行分析，基于线性矩阵不等式，给出具有离散和分布时滞微分差分系统的稳定性的充分条件，并通过示例仿真说明了本文结果的有效性。

离散和分布时滞微分差分;Lyapunov-Krasovskii泛函;稳定性

一、引言

一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统.即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡破坏，但在外扰被去掉后，它有能力自动的恢复到平衡状态，系统的这种性能通常叫做稳定性。本文将主要致力于研究一类非常广泛的时滞系统，具有离散和分布时滞的微分差分系统的稳定性，应用Lyapunov泛函第二方法对离散和分布时滞微分差分系统的稳定性进行分析。

二、Lyapunov稳定性定理及问题的叙述

对于一般的微分—差分系统

(2-1)

y(t)=g(t,x(t),yt),

(2-2)

定理1 假定f和g分别映R×(Rm×PC上的有界集)到Rm和Rn的有界集，且g是一致input-to-state稳定的；u,v,w:R+→R+是连续不减函数，且满足及v(s)> 0,u(0)= v(0)= 0如果存在一个连续的可微的泛函V:R×Rn×PC→R,使得

(i)u(‖φ‖)≤V(t,φ,φ)≤v(‖φ,φ‖);

(2-3)

(2-4)

成立，则泛函方程(2-1)和(2-2)的平凡解是一致渐近稳定的。

本文考虑具有离散和分布时滞的微分差分系统

(2-5)

y(t)=Cx(t)+Dy(t-r),

(2-6)

其中x(t)∈Rm,y(t)∈Rn,为状态向量，A,B,C,D,H为适当维数的常数矩阵。

三、稳定性分析

由定理1知，子系统式(2-6)是input-to-state稳定的是系统(2-5)和(2-6)稳定的必要条件，它等价于差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)的稳定性，而对于R(yt)有下述定理。

定理 2[1]差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)一致稳定的充分必要条件是存在对称正定矩阵Q使得Q-DTQD>0 成立。则定理1中的条件(i)得到满足。下面的讨论定理1中条件(ii)的条件。对于V(x(t),yt)沿系统(2-5)和(2-6)的解求导,有

因此只要

X < 0,

就有

于是由定理1(Lyapunov稳定性定理)可知系统(2-5)与(2-6)稳定，即离散和分布时滞微分差分方程一致渐近稳定。

定理3 对于离散和分布时滞微分差分方程(2-5)与(2-6)，若存在正定对称矩阵P,M,R,及矩阵Q,使得LMI

(3-1)

(3-2)

那么，离散和分布时滞微分差分方程(2-5)与(2-6)一致渐近稳定。

证明(3-2)式蕴含

DTRD-R≤DTRD-R+rCTMC<0。

也就有DTRD-R<0。故由定理2知差分算子R(yt)=y(t)-Dy(t-r)是稳定的，即系统(2-6)是input-to-state稳定的。

对于选取的Lyapunov泛函，由上式(3-2)易见存在正数c=λmin(P)使

c‖x(t)‖2≤V(x(t),yt)

这里‖V(x(t),yt)‖=max{‖x(t)‖,‖yt‖}。并且由上述分析知(3-3)式成立，易见存在正数ε=|λmax(X)|,使得

证毕。

四、实例下面我们利用工程软件Matlab验证离散和分布时滞微分差分方程系统稳定性，说明给出结果的有效性。

例1 考察某自动控制系统[2]

要验证上述系统的稳定性需解LMI式(3-2)和(3-3)，为此我们应用Matlab6.5语言进行数值计算。

可得到稳定性分析的结果rmax=1.1659。计算所需时间为2.0156s

因此当r≤rmax时系统是稳定的。

这时

结论

本文通过利用Lyapunov第二方法以及LMI技术对具有离散和分布时滞微分差分方程系统稳定性进行理论研究，基于线性矩阵不等式，给出了离散和分布时滞微分差分方程系统稳定的充分必要条件，并通过实际例子说明了它的有效性。

[1]李宏飞.中立型时滞系统的鲁棒控制[M].西安：西北工业大学出版社，2006.

[2]张冬梅，俞立.线性时滞稳定性分析综述[J].控制与决策，2008,23(8)：841-845

孟圆伟(1985-)，女，汉族，陕西西安人，研究生在读，西安财经学院，经济统计；姬领(1989—)，男，汉族，陕西米脂人，研究生在读，西安财经学院统计学院，统计专业，研究方向经济统计。