一类可积晶格方程族的可积性探究

(山东科技大学 山东 青岛 266590)

一类可积晶格方程族的可积性探究

孙士丽

(山东科技大学 山东 青岛 266590)

近年来，非线性离散可积系统作为描述非线性现象的有力工具，受到了人们的广泛关注。本文提出了一个新的离散的4×4的矩阵谱问题，利用离散的零曲率方程表示法构造了一族新的离散的可积系统，并研究离散可积系统的刘维尔可积性。

离散可积系统;晶格方程族;零曲率方程;可积性

一、引言

可积晶格方程用来描述自然科学中许多复杂的现象。例如，晶体中的质点振动，食物链中的脉冲，电网的电流等，数学家们已经从不同的角度进行了系统的研究，如连续极限和r-矩阵结构[1]，反散射变换，对称和主对称[2]，可积耦合，达布变换等。

一类离散空间谱问题(1)

Eφn=Un(un,λ)φn

和相应的时间谱问题(2)

φn,t=V(n)(un,λ)φn

如果一个晶格方程(3)

un,t=K(un,un-1,un+1,...)

是(1)和(2)的一个兼容性条件，那么它在Lax意义下可积，也就是(4)式

Un,t=(EV(n))Un-UnV(n)

我们称方程(1)、(2)是晶格方程(1)的一个Lax对。寻找新的可积晶格方程族，使其满足离散谱问题(1)，这仍然是一个复杂的任务。

在文章第2节中，介绍一类离散谱问题(5)

这里un是位势向量，φn是本征函数，λ是谱参数且λt=0。不难发现，谱问题(5)也等价于一个特征值问题。首先，我们要选择合适的时间谱问题，然后由离散零曲率方程导出一个可积晶格方程族。最后，在第3节中，做一些评价和总结。

二、一类新的可积晶格方程族

在这一节中，我们将推导出一个新的可积晶格方程族。首先，我们求解静态的离散零曲率方程(6)

(EΓn)Un-UnΓn=Γn+1Un-UnΓn=0

由方程(6) 并利用劳伦级数展开式我们得到初始条件：

和递推关系(8)式(m≥0):

我们引入辅助谱问题(10)：

那么，该方程与方程(5)的相容性条件表示为:

(Eφn)tm=E((φn)tm)

它等价于离散的零曲率方程

求得微分差分方程族的可积系(11)

所以谱问题(5)和方程(10)构成方程(11)的Lax对。当m = 0，方程(11)变成一个简单的线性系统rnt0=0,snt0=0。我们得到方程(11)的第一个非平凡的可积晶格方程，当m = 1时，得(12)式:

rnt1=rn(snrn-1)-rn-1(sn-1rn-1-1)，snt1=rn+1-rn，

三、结论

在本文中，我们介绍了一个离散谱问题，并由离散零曲率方程推导出一个离散可积微分差分方程族。此外，还有其他的可积性问题值得进一步研究，例如达布变换、对称和主对称、可积耦合系统、半直和李代数等。

[1]董焕河,张玉峰.孤立子理论与可积系统[M].2006

[2]李翊神.孤子与可积系统[M].1999

孙士丽(1991-)，女，汉，山东临沂，硕士，山东科技大学数学与系统科学学院，微分方程理论及应用。