谈数列极限定义的教学设计

2017-09-27张辉李应岐赵伟舟吴聪伟

课程教育研究·新教师教学 2015年12期

张辉+李应岐++赵伟舟+吴聪伟

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列可以看作自变量只取正整数的一类特殊函数，称为整标函数，即，其中称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列，然后启发学生思考如何从数列的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当越来越大时，越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列，主要研究当无限增大时，数列无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果无限增大时，数列无限接近于一个常数，则称为该数列的极限，记作或。否则，称发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当无限增大时，无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要充分大，大到足以保证小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于的正整数，即，使当时的一切都满足。

由于的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列随无限增大（记作）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用的数量关系把“当无限增大时，无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数從项开始后面的所有项都落在点的邻域内，而此邻域外最多只有有限项。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2）具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画无限接近于常数的程度；二是固定性，一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数。三是表达式的多样性，定义中若取、、也可。

（3）的相应性。依赖于，但并不唯一，因此也不是的函数。事实上，未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当给定后，才能找到与之有关的，当满足时，才有，一般情况下寻找到即可。

（4）不等号的推广。由的多样性和的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明，关键是对于任意给定的正数，寻找一个与之有关的正整数使得当时恒有。那么怎么寻找呢？首先从这个关于和的不等式出发，解出的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取即可。事实上，若取或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献