Wilson定理的证法及其应用

吴琼茹　李伟

【摘要】Wilson定理的重要性，不仅表现在对二次同余的研究有帮助，而且它给出一个正整数是素数的充要条件，因而决定一个正整数是否为素数的问题已经完全解决。该文将给出Wilson定理的两种证法，并应用 Wilson定理介绍一个素数公式，并证明其成立。

【关键词】素数 ； Wilson定理 ； 多项式 ； 素数公式

【中图分类号】G64 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）7-0245-02

早在古代，寻找素数公式就吸引了许多数学家的注意，他们产生了一些有趣的猜想，认为他们所猜想的这个公式就可以表示所有的素数，但最后都一一被否定。本文从威尔逊（Wilson）定理出发，介绍一个公式来表示所有的素数，即素数公式。先给出Wilson定理以及Wilson定理之逆定理的证明，然后再应用Wilson定理证明素数公式，最后介绍几个例题。

1.介绍几个由不同数学家猜测的素数公式[4]

数学家欧几里德猜想：当p1，p2，…pk是素数时，则p1，p2，…pk+1也是素数。例如：

2+1=3，2×3+1=7，2×3×5+1=31，

2×3×5×7+1=211，2×3×5×7×11+1=2311。

3，7，31，211，2311都是素数。但是如果再继续计算下去，就会发现：

2×3×5×7×11×13+1=30011=59×509，

2×3×5×7×11×13×17+1=510511=19×97×277.

30011，510511都是合数，否定了欧几里德的猜想。

以上两种猜想，都只在前五个数成立，而在以后的各数中就被否定，经过进一步科学家的研究知道：在5≤n≤1945中，至少有48个n所对应的费尔马数都是合数。

直到今天，除了F0，F1，F2，F3，F4，F5这五个费尔马数是素数外，还没有找到一个其它的费尔马数是素数。由于许多数学家的各种猜想和结果，致使许多长期从事数学工作的同志，还认定不存在一个公式来表示所有的素数。本文将从Wilson定理出发，给出一个用二元整系数多项式来表示所有素数，即素数公式，并加以证明。

2.Wilson定理及其证法

2.1 Wilson定理的第一种证法

Wilson定理 正整數p是素数？圯（p-1）！≡-1（mod p）.

证 当p=2或p=3时，（p-1）！≡-1（mod p）.显然成立。

现在令p>3，若r是下列p-3个数2，3，…，p-2中的一个，则在这些数中必有一数s≠r，可使rs≡1（mod p）.

这是因为r，2r，3r，…（p-1）r为模p的简化剩余系[1]，所以其中必有一数且只有一数sr使sr≡1（mod p）.

因为2≤r≤（p-2），故s≠1，s≠（p-1），另外，还有s≠r，因若s=r，则r2≡1（mod p），即（r+1）（r-1）≡0（mod p）. （1）

故应得p|（r+1）或p|（r-1），而2≤r≤（p-2），故（1）式不可能成立，所以s≠r.

又因为rs=sr，即r与s是成对地出现的，故2，3，…，p-2这p-3个数共可分为对，每一对数之乘积都模p同余于1，所以

2·3·4…（p-2）≡1≡1（mod p）.

即（p-2）！≡1（mod p）.从而有（p-1）！≡-1（mod p）.

2.2 Wilson定理的第二种证法

Wilson定理 设p为素数，则（p-1）！≡-1（mod p）[7].

证 当p=2时，显然成立。p>2时，p-1必为偶数，设p-1=2l，则zp={1，2，…，p-1}={1，2，…，2l}.

令a1=1，b1=p-1，T1={a1，b1}，作S1=zp＼T1.

假设已构造出Tk={a1，b1，…ak，bk}，Sk=zk＼Tk[6]，k>1时，对i>1时，有aibi≡1（mod p）.

任取an+1∈Sk，令bk+1=ak+1-1（mod p），则bk+1∈Zp且ak+1bk+1≡1（mod p）.如果bk+1=a1=1，则ak+1≡1（mod p），或ak+1∈zp，只能ak+1=1∈Tk，这与ak+1？埸Tk矛盾；

同理，如果bk+1=b1=p-1，则ak+1=p-1∈Tk，矛盾；当k>1时，如果bk+1=ai，2≤i≤k，ak+1ai≡1（mod p），

那么ak+1aibi≡bi（mod p）.因为aibi≡1（mod p）.所以ak+1≡bi（mod p）.

又∵ak+1，bi∈zp，∴ak+1=bi∈Tk矛盾；如果bk+1=bi，2≤i≤k，也推出ak+1=ai∈Tk，矛盾；

当k≥1时，如果bk+1=ak+1，则（ak+1）2≡1（mod p）.所以（ak+1+1）（ak+1-1）≡0（mod p）.故只能（ak+1+1）≡0（mod p）或ak+1-1≡0（mod p）.

所以p|（ak+1+1）或p|（ak+1-1）.但ak+1∈{2，3，…，p-2}，所以，1≤ak+1-1≤p-1，也矛盾；即只能bk+1？埸sk，bk+1≠ak+1；这样构造

Tk+1={a1，b1，…，ak+1，bk+1}[8].

则a1=1，b1=p-1，aibi≡1（mod p），a1≠b1，i=2，3，…，k+1.

再构造sk+1=zp/Tk+1；…如此一直构造下去，直到得到T1={a1，b1，…，ai，bi}，则

T1=zp={1，2，…，p-1}；aibi=1（mod p）；i=2，3…；l=.endprint

所以（a2b2）×（a3b3）…×（albl）=2×3…×（p-3）×（p-2）≡12（l-1）（mod p）.

所以1×2…×（p-2）×（p-1）=1×（p-1）≡-1（mod p）.因此（p-1）！≡-1（mod p）.

3.Wilson定理之逆定理的证明

Wilson定理不仅是判定一个数为素数的必要条件，也是判定一个数为素数的充分条件.证明如下：

如果（p-1）！≡-1（mod p），那么p为素数[2]。

证法1 假设p不是素数，那么一定存在正整数q，使q|p

因为（p-1）！≡-1（mod p），所以（p-1）！≡-1（mod q）.但q|（p-1）！，所以，0≡-1（mod p）.这是不可能的，故p是素数。

证法2 若（p-1）！ ≡-1（mod p），则存在t∈z，使（p-1） ！=-1+tp，tp=（p-1）！+1.

对任意q，1≤q≤p-1，如果q|p，则q1（（p-1）！+1）；但q|（p-1）！[3]，故q|1，而此时只能q=1，即：p只能被1或自身整除，故p为素数。

4.Wilson定理的应用

既然从理论上讲，威尔逊定理解决了判定一个整数是否为素数的问题，那么一定存在某个公式来表示所有的素数.

4.1 素数公式[5]

下證 n+1为素数。

要说明n+1为素数，据Wilson定理可知，必须满足[（n+1）-1]！≡-1（mod （n+1））.

因为m是正整数，所以（n+1）|[（n+1）-1]！ +1即[（n+1）-1]！ +1≡0（mod （n+1））.

而[（n+1）-1]！+1≡0（mod （n+1））？圳n+1为素数，所以n+1为素数，即B=0时，A为素数，所以

A=2，当B≠0时；n+1，当B=0时.

验证 例如：取m=3，n=4，则B=3×5-（4！+1）=-10≠0，A=2；

取m=329891，n=10，则B=329891×（10+1）-（10！+1）=0，A=10+1=11是素数。

5.小结

Wilson定理在初等数论中十分重要，它的重要性在于给出了一个正整数是素数的充要条件，从理论上解决了判定一个整数是否为素数的问题.并且为人们论证素数公式提供了有利的条件。

参考文献

[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2004，58-59.

[2]李复中.初等数论选讲[M].吉林：东北师范大学出版社，1984.

[3]周显.初等数论[M].武汉：华中师范学院数学系.1981.

[4]郑玉才.Wilson定理与素数公式[J].1992，1：11-13.

[5]陈景润.初等数论[M].北京：科学出版社，1978.

[6]王彤华，杨海文，刘咏梅.初等数论[M].北京：北京航空航天大学出版社，2008，3.

[7]冯志刚.初等数论[M].上海：上海科技教育出版社，2009，1.

[8]潘承彪.简明数论[M].北京：北京大学出版社，1998，1.

作者简介：吴琼茹（1986-），女，汉族，河南漯河人，助教，硕士研究生，研究方向：基础数学。李伟（1986-），男，汉族，河南信阳人，助教，硕士研究生，研究方向：应用数学。endprint