新课标课堂上培养学生数学建模的思考

蒙华生

中图分类号：G633.6

近几年高考新课标全国卷加大了应用题力度，如何将数学建模思想有效地融入到日常教学，如何指导学生在解决高考随处可见的应用题，比如概率统计的应用，“四点共圆”的应用，函数求导的与不等式的综合应用等，成了不少同学取得高分的“拦路虎”，解答不太理想。我们在教学上要求学生“学高考所考”“练高考所考”的方式的确是提高了学生应试“能力”，却在课堂上没能有效地向学生引入数学建模的思想，学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会去解决它，广西2009年以来连续考了几年的压轴题“四点共圆”，考生接触虽多，却不会应用数学建模的思想去发现问题，解决问题，“年年考，年年死！”如何培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理高考应用问题，形成良好的思维品质是我们需要解决的一个迫切的课题。

一、何为“数学建模”

数学建模的思想大致为：

实际问题→分析抽象→建立模型→数学问题

↑ ↓

检验 ← 实际解 ← 释译 ← 数学解

大学时期我参加 “数学建模大赛”时，指导老师张凯军曾经说过“培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。”学生要具备这样的能力需要一个积累沉淀，需要我们在课堂上把数学建模思想贯彻到底，不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从具体问题中抽象出熟悉的数学模型。比如教材上公式、方程式、定理等等。

二、如何在日常的教学中灌输“建模”思想

1、首先要从传统的“应试教育”观念转变过来，不断地学习一些新的数学建模理论，利用网络教学或者外出培训的机会不断更新教学理念，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活；

2、与教材相结合。教材中哪些章节可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题，而排列组合问题在实际应用更为广泛。日常教学中通过我们的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力；

3、学科间的联系。由于数学是学习其它自然科学的工具且与其它学科的联系相当密切。我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。

三、建模思想例题分析：

1、构建建模意识，培养学生的转换能力

数学建模就是把实际问题转换成数学问题，我们若能够在数学教学中注重转换，利用好这根杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。以下是本人就教学过程中排列组合题型的常见两个难点：占位子问题、分组问题，通过两个特例作进一步的说明：

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

解析过程：

首先，读懂题目：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已"编号"着手，清楚这是一个"排列问题"，然后对题目进行等价转换。

其次，转换思想：在读懂题目的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，在讲台前将印有编号为1、2、3、4、5的五张凳子摆放好，同事将本道题转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上，如果只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

最后，解决问题：这时选另一名学生来安排这5位学生坐位子，班上其他同学也都积极思考（充分發挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地"出谋划策"，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件"两个学生与其所坐的凳子编号相同"的两位同学，有 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据分布计数原理得到结果为 =20种不同的方法。

对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件建立模型，从实际生活转换思想。分析问题，解决问题。再抛出问题：5个同学在元旦相互赠送卡片，要求：①无人拿到自己的卡片有多少种方法？②恰有1人拿到自己的卡片方法数？③至少有2个人拿到自己的卡片有多少种方法？给学生在课后自己练习，寻找规律。

2、发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维

例2：证明：

分析：此题若作为“三角”问题来处理，当然也可以证出来，但从题中的数量特征来看，发现这些角都依次相差72°，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形（如图）所示：

由于 .

从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为0，故知原式成立。

这里，正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征。很好地培养学生敏锐的观察能力与想象能力。如果没有一定的建模训练，是很难“创造”出如此简洁、优美的证明的。

3、以“构造”为载体，培养学生的创新能力

例3.一条笔直的大街上，有n座房子，每座房子里有一个或更多的小孩，问：他们应在什么地方会面，走的路程之和才能尽可能地少？

分析：如何表示房子的位置？构造数轴，用数轴表示笔直的大街，几座房子分别位于 ，不妨设 ?，又设各座房子中分别有 个小孩，则问题就成为求实数x ，使 最小。

例4. 求函数 的最小值。

分析：学生首先想到的用均值不等式求得最小值为2，但忽略了均值不等式等号成立的条件，若把函数变为 ， 则可构造数学模型“求过定点A（0，-4）及动点B 的直线AB斜率的最小值”，而动点 的轨迹是抛物线段： ，结合图像可知函数 的最小值为 。

总之，要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞不切实际的建模教学，一切教学活动必须以调动学生主观能动性，培养学生创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉在学习过程中构建数学建模意识，这样才能使学生分析和解决问题的能力得到进步，才能真正提高学生的创新能力，使学生能用数学逻辑思维去解决高考各种新题型，扫清高考压轴题上的“拦路虎”！endprint