门式框架结构的瞬态波动响应和自振特性研究

许兰兰, 余云燕

(兰州交通大学 土木工程学院 730070)

门式框架结构的瞬态波动响应和自振特性研究

许兰兰, 余云燕

(兰州交通大学 土木工程学院 730070)

研究门式框架结构在瞬态波动作用下的动力响应求解和自振特性分析问题。建立了局部坐标系下节点位移协调条件和力平衡条件，借助回传射线矩阵法，得到了方波脉冲激振力作用下的门式框架结构的动力学响应函数。在此基础上，通过离散Fourier逆变换和卷积变换，得到单位脉冲作用下框架结构的瞬态波动响应，并进一步探讨了门式框架结构的自振频率和模态特征。

回传射线矩阵法； 门式框架； 波动响应； 自振频率； 模态

在土木建筑和机械设备中，平面或空间框架结构得到了广泛的应用。在设计、施工和使用过程中，这些结构不仅受到长期的静荷载作用，还受到不同的动荷载(如地震、风荷载、冲击荷载)作用。由于此类动荷载具有突发性、不确定性和反复性等特点，使得框架结构在动荷载作用下的动力学响应分析相比传统的静力响应分析更具理论挑战。

近年来，框架结构的动力学响应分析受到了国内外学者的广泛研究。例如，文献[1-3]借助轴向波和挠曲波在杆件中的传播原理，应用Timoshenko梁理论提出了回传射线矩阵法的波动建模方法。文献[4]利用回传射线矩阵法分析了平面框架结构并和Ansys的计算结果进行比较，表明回传射线矩阵法在计算结构受冲击后短时的瞬态响应时，具有很高的精确性。文献[5-6]基于Laplace变化的回传射线矩阵法，研究了用节点质量和节点阻尼进行结构减振的可能性。文献[7]将回传射线矩阵法引入到基础结构的动力分析中，应用Timoshenko梁理论建立了弹性地基梁模型。文献[8-9]应用回传射线矩阵法，研究了平面埋置框架结构瞬态波动响应和有缺陷埋置框架结构的损伤识别方法。文献[10-11]研究了复杂框架结构的回传射线矩阵的统一列式表达方法，进而研究了该类结构的自振特性。文献[12]中对回传射线矩阵法进行了综述，通过该方法可获取框架结构的轴向、扭转、弯曲等应变波；尤其是借助纽曼级数确定结构早期瞬态相应时，该方法效果较好。

从上述研究可见，在分析结构动力学响应时，回传射线矩阵法是一种有效方法。但是，当应用该方法研究框架结构动荷载响应时，仍有一些科学问题尚需进一步深入研究。首先，由于框架复杂多变，导致此类对象静力平衡关系和位移协调条件复杂且关联耦合，使的应用框架结构动力学建模方法难以应对。其次，由于框架结构节点多且位置分散，在动荷载作用下，各节点之间的散射关系难以定性描述。上述困难限制了回传射线矩阵法在实际工程中的广泛应用。

为克服以上困难，本文针对典型的门式框架结构，借助回传射线矩阵法，建立了相应的动力学模型和节点散射关系，进而研究了该结构在动荷载作用下的波动响应并进行自振分析。文中所提方法具有以下创新点：① 分析并建立了节点间的静力平衡关系和位移协调条件，准确的描述了动荷载条件下的节点间的散射关系。② 应用了回传射线矩阵法，给出了出射波波幅向量表达式，方便的得到门框架结构的瞬态波动响应，并进一步分析了结构自振频率和固有模态。

本文组织结构如下。第一节描述需研究的问题并提出回传射线矩阵法，第二节应用回传射线矩阵法研究了门式框架结构瞬态相应，第三节中进行了模态分析，第四节中给出了本文主要结论。

1 回传射线矩阵法基本原理

本节研究门框架结构在动荷载作用下的动力学建模问题，以期得到节点散射特性。首先针对门框架结构，建立了回传射线矩阵，求解频域中所有组成杆件的内力、位移与速度等参量；然后分析了该结构中速度波的传播特性，最终得到了各参量在对应节点处的散射特性。本文所研究的典型门式框架结构如图1(a)和(b)所示；针对图1(a)结构，建立总体坐标系(X,Y)，引入两个对偶局部坐标系(x,y)JR和(x,y)KJ，以节点3为例，其局部坐标系与全局坐标系之间的关系如图1(c)和(d)所示。

(a) 门式框架结构

(b) 整体和局部坐标系

(c) 局部坐标系

(d) 整体坐标系

如图1所示，该框架结构包含了7个节点和6个杆件，节点分散处于不同的位置，且节点间存在不同的力与位移平衡制约关联。在不考虑材料阻尼及外界影响的情况下，局部坐标系下各单元的波动控制方程为

(1)

式中：u为轴向位移；vb为弯矩引起的挠曲位移；vs为剪切引起的挠曲位移；总挠曲位移为v=vb+vs;ρ，A，I分别为杆件密度、横截面面积和截面惯性矩；E，G，k′为杆件杨氏模量、剪切模量和剪切系数，其物理力学参数数值见表1。

表1 门式框架结构物理力学参数

(2)

对式(2)进行FFT并进行求解，得到位移在频域中的表达式为

(3)

(4)

(5)

式(4)，式(5)中，a1(ω),a2(ω),a3(ω)为入射波波幅，d1(ω),d2(ω),d3(ω)为出射波波幅，k1,k2,k3为波数；满足：k1=ω，

式(4)和(5)中包含了一些虚部模态，在不考虑能量耗散条件下，挠曲波中会出现弥散现象。此外，轴力、剪力、弯矩和转角在频域中的表达式为

在总体坐标系下，对所有节点建立静力平衡关系和位移协调条件，以刚节点3(图2)为例有：

-F32+Q36+F34=0，Q32+F36-Q34=0，M32+M36+M34=0，-u32=v36，v36=u36，u36=-v34，φ32=φ36，φ36=φ34

(6)

式(6)代入方程的解并整理成矩阵形式，有：

d3=S3a3+s3

(7)

式中:a3和d3分别为刚节点3处局部坐标系下的入射波和出射波波幅向量，S3为节点3处的9×9维局部散射矩阵，s3为波源向量，即：

s3=[0 0 0 0 0 0 0 0 0]T

上述表达仅给出了框架结构节点3分散射关联，其他的节点亦存在相应的散射关联表达式。定义其他节点的局部散射矩阵S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7和局部波源向量矩阵s1、s2、s3、s4、s5、s6、s7，以及入射波波幅向量a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7和出射波波幅向量d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7，对所有7个节点建立相应的力与位移平衡制约关系，再将所有节点的散射关系按照节点顺序组合可得框架结构总体散射关系为

上述模型给出了门框架结构的7节点散射关联。而当选择m个不同节点时，门框架结构散射关联可写为

d=Sa+s

(8)

式中：S为总体散射矩阵，是一个6 m×6 m维分块对角矩阵；s为6 m维列向量，是总体波源向量；a和d为6 m维总体入射波和总体出射波列向量；m为节点数。

从局部坐标角度看，对于任一单元JK，其中一端的入射波对另一端而言就是出射波。因此，入射波的波幅向量和出射波的波幅向量之间应满足如下相位关系：

(9)

(10)

d=[I-R]-1s

(11)

式中：R=SPU为回传射线矩阵，I为单位矩阵。通过Fourier逆变换，可得各量值在时域中的响应。以速度波为例，有：

(12)

式中：AV和DV分别为杆件的入射波速度波相矩阵和出射波速度波相矩阵。利用纽曼级数，并由式(12)可得单位脉冲作用下时域速度响应V为

(13)

从式(13)可见，通过选择不同的参数N，可以求解出相应精度的数值解。在实际计算中，可根据实际情况确定N的取值，就可求得有限时间内瞬态波的波动反应。此外，由于同一杆件中用了两个局部坐标系而产生了因果关系，会使入射波波幅向量a和出射波波幅向量d多传播一次。例如：a(0)=0，d(0)=Is；a(1)=PUd(0)，d(1)=(I+R)s；…；a(N)=PUd(N-1)，d(N)=(I+R+…+RN)s。可知，上述因素会导致入射波波幅向量和出射波波幅向量不同步[13]。

2 门式框架瞬态波动响应

在本节中，首先依照回传射线矩阵法计算了门式框架结构的速度传播，然后对节点的受力平衡和位移协调关系进行验证，用以说明本文所提方法的有效性。

2.1速度波的传播

2.1.1 轴向波与挠曲波的波速关系

同理，可以得到在激振荷载作用下的各杆件单元，在轴向速度波和挠曲速度波沿杆件长度上的无量纲传播时间，如表2所示。

表2 各杆件的无量纲长度及波传播的无量纲时间

图2 杆件2-1轴向和挠曲速度波传播的无量纲时间

2.1.2 节点处速度波的反射与透射

通常而言，相应波在传播过程中经过节点时既有反射，又有透射。以节点3为例，其响应如下图3所示。

(a) N=0

(b) N=2

如图3(a)所示，节点2受到方波激振后，波沿单元2-3传播到达节点3，该波为节点3的首次入射波，N=0。该入射波到达节点后经过一次回传(N=1)沿单元3-2传播的出射波为节点3的反射波，沿单元3-6，单元3-4传播的出射波为节点3的透射波。由图可知，反射波和透射波的脉冲方向均与入射波脉冲方向相反，透射波波形曲线与反射波波形曲线之和与入射波波形曲线等值反向，叠加之和为零。图3(b)为由节点3反射，透射后的各条曲线传播至节点1、节点4和节点6，经各节点反射回节点3的入射波(N=2)，再次经节点3反射、透射后的各条曲线。由图可知，由于各杆件的长度不同，经节点1、节点4和节点6反射回来的入射波到达节点3的无量纲时间并不相同，从而经节点3再次反射、透射所发生的时间亦不相同。无量纲时间40.416、42.725、76.439处为由节点1、节点4、节点6反射回节点3的入射波到达时间及相应的入射波、反射波和透射波波形曲线，三种波叠加后其和为零。轴向波在竖杆的传播形式经节点3透射后在横杆上以挠曲波的形式传播，其波形发生变化。

2.1.3 速度波的传播

图4显示了纵向速度波经过不同回传次数后到达接收点A的结果，由节点2出射的波分别向节点1、3传播。

(a) 首次波形(N=0)

(b) 回传一次(N=1)

(c) 回传两次(N=2)

(d) 回传三次(N=3)

(e) 回传四次(N=4)

(f) 回传五次(N=5)

(g) 回传六次(N=6)

(h) 经过接收点A的前六条波

表3经过N次节点回传后到达接收点A的纵向、横向速度波的传播路径、类型及时间

Tab.3Propagationpath,typeandtimeoftheaxialandflexuralvelocitywavesreachedatnodeA

回传次数传播路径路径长度纵波传播时间横波传播时间波的类型02-A8.0838.08312.366入射波12-1-A26.55926.55940.632出射波22-3-2-A19.63019.63030.033入射波32-3-2-1-A38.10638.10658.299出射波4562-1-2-3-2-A54.27354.27383.0322-3-4-3-2-A56.58256.58286.5652-3-6-3-2-A65.82090.29676.2222-1-2-3-2-1-A72.74872.748111.2982-3-4-3-2-1-A75.05875.058114.8312-3-6-3-2-1-A84.296108.771104.4882-3-2-1-2-3-2-A57.73765.820100.6982-1-2-3-4-3-2-A91.22491.224139.5642-3-4-3-4-3-2-A93.53393.533143.0972-1-2-3-6-3-2-A100.462124.938129.2212-3-4-3-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-5-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-5-4-3-2-A102.771127.247132.7542-3-4-5-4-3-2-A102.771127.247132.7542-3-4-5-6-3-2-A102.771127.247132.7542-3-6-7-6-3-2-112.009136.485146.887入射波出射波入射波

(a) 首波

(b) 回传一次(N=1)

(c) 回传两次(N=2)

(d) 回传三次(N=3)

图5表示横向速度波经过N次回传后到达接收点的波形图。与纵向速度波相比，横向速度波的无量纲传播路程与无量纲传播时间不相等，传播时间滞后于传播路程，且其波形曲线也发生了较为明显的变形。受横截面剪力系数κ′、剪切变形、转动惯量等影响，横向速度波并不是规则的方波，且随着传播距离的增大，其波形会发生较为明显的变形。

2.2节点的受力平衡和位移协调关系

根据前文所述，回传射线矩阵是由节点的受力平衡关系和位移协调关系建立的，故而结构上任一点由回传射线矩阵法计算所得到的力和位移必定满足受力平衡和位移协调关系，该关系可由图(6)表示。

依照本文结论，图(7)显示了节点3所受轴力、剪力和弯矩波形图；图(8)显示了节点3的位移、转角波形图。在上述计算过程中，纽曼级数展开项取N=12。

(a) 节点3轴力、剪力

(b) 节点3弯矩

(c) 节点2 轴力、剪力

(d) 节点2弯矩

由图(7)可知，节点3在单元3-2所受的轴力与其在单元3-6所受的剪力、单元3-4所受的轴力之和大小相等，方向相反，其和为0，在单元3-2、单元3-6和单元3-4所受弯矩之和也为0，即-F32+Q36+F34-0，M32+M36+M34=0，即整体坐标系下节点3满足受力平衡条件。同理可知整体坐标系下节点2同样满足受力平衡条件。

由图(8)可知，节点3在单元3-2产生的轴向位移u32与其在单元3-6产生的横向位移v36、单元3-4产生的轴向位移u34大小相等，方向相反，即u32=-v36=-u34。同理由图(8)可知，v32=u36=-v34,φ32=φ36=φ34,即在整体坐标系下节点3满足位移协调条件。

3 模态分析

3.1结构的自振频率

由回传射线矩阵法可知：[I-R]d=s。在计算固有频率时，考虑自由振动和自由波的传播问题，令波源向量s为零向量，方程变为：[I-R]d=0。若该方程有非零解，其系数行列式必为零，即[I-R]=0，对应的频率ω即为所求的结构固有频率[14]。将计算结果与有限元软件ANSYS和SAP2000求得的结果对比如表3所示。

图8 节点3的位移、转角

由表3结果可以看出，利用回传射线矩阵法求得的自振频率同ANSYS和SAP2000求得的自振频率结果非常接近，相对偏差较小，说明了本文RRMM方法的有效性。

3.2结构的固有模态

将固有频率数值代入式(24)可以得到对应的非零出射波波幅向量d，再把d代入(18)式便得到了对应的入射波波幅向量a，最后将波幅向量a和d代入位移表达式，即可得到对应的模态[15]。图(9)显示了本文计算结果和SAP2000软件计算得到结构模态对比。

表3 门式框架前12阶自振频率(ki=9/10)

(a) 一阶模态

(b) 五阶模态

(c) 八阶模态

(d) 十阶模态

(e) 十五阶模态

(f) 二十阶模态

由图(9)结果可知，本文计算结果与SAP2000结构模态几乎完全重合，说明应用本文中RRMM方法进行固有特性的计算结果有效，所得结果可靠。

4 结 论

本文基于回传射线矩阵法，研究了门式框架在方波脉冲荷载作用下的瞬态响应和自振特性。所提方法可以方便的得到门式框架结构的动力学响应函数和单位脉冲作用下的瞬态波动响应，为进一步研究结构自振频率和模态特征提供了可靠方法。

[1] HOWARD S M, PAO Y X. Analysis and experiments on stress waves in planar trusses[J]. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 1998, 124: 884-891.

[2] PAO Y X, KEH D C, HOWARD S M. Dynamic response and wave propagation in plane trusses and frames[J]. Journal of AIAA，1999,37(5): 594-603.

[3] PAO Y H, SUN G J. Dynamic bending strains in planar trusses with pinned or rigid joints[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2003,129: 324-332.

[4] CHEN J F，PAO Y H．Effects of causality and joint conditions on method of reverberation-ray matrix[J]．AIAA Journal, 2003,41(6): 1138-1142．

[5] PAO Y H, SU X Y, TIAN J Y．Reverberation matrix method for propagation of sound in a multilayered liquid[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000,230(4):743-760．

[6] 徐剑锋, 杜晓伟, 涂振国, 等. 钢屋架瞬态动力响应的弹性波分析[J]. 上海交通大学学报, 2002,36(3): 432-435.

XU Jiangfeng, DU Xiaowei, TU Zhenguo, et al. Elastic wave analysis of transient response for a steel roof truss[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2002, 36(3): 432-435.

[7] 田家勇, 苏先樾. 刚架结构中瞬态波的传播[J]. 爆炸与冲击, 2001,21(2): 98-104.

TIAN Jiayong, SU Xianyue. The transient waves in frame structures[J]. Explosion and Shock Waves, 2001,21(2): 98-104.

[8] 田家勇, 苏先樾. 刚架结构的节点质量阻尼减振分析[J]. 固体力学学报, 2002,23(1): 41-52.

TIAN Jiayong, SU Xianyue. The vibration suppression of joint mass-damping in frame structures[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2002,23(1): 41-52.

[9] 陈云敏,王宏志. 回传射线矩阵法分析桩的横向动力响应[J]. 岩土工程学报, 2002,24(3):271-275.

CHEN Yunmin, WANG Hongzhi. Analysis on lateral dynamic response of a pile with the method of reverberation ray matrix[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002,24(3):271-275.

[10] 余云燕. 在埋置框架中应力波传播的影响因素分析[J]. 计算力学学报, 2007,24(5): 659-663.

YU Yunyan. Stress wave propagation and study on influencing factor in frame structure embedded partially in soil[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007,24(5): 659-663.

[11] 余云燕. 有缺陷埋置框架的波动响应及影响因素研究[J]. 振动工程学报, 2007,20(2): 194-199.

YU Yunyan. Studies on wave responses of a defective frame structure embedded partial ly in soil and influence factors[J]. Journal of Vibration Engineering, 2007,20(2): 194-199.

[12] PAO Y H, CHEN W Q. Elastodynamic theory of framed structures and reverberation-ray matrix analysis[J]. Acta Mechanica, 2009,204(1):61-79.

[13] 郭永强. 回传射线矩阵法的理论及其应用[D]. 杭州：浙江大学, 2008.

[14] 郭永强,陈伟球,肖春文. 复杂空间框架结构的自振特性分析[J]. 振动工程学报, 2008,21(3): 261-267.

GUO Yongqiang, CHEN Weiqiu, XIAO Chunwen. Dynamic property analysis of complex space structures[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(3): 261-267.

[15] MIAO F X，SUN G J, PAO Y H. Vibration mode analysis of frames by the method of reverberation ray matrix[J]. Journal of Vibration and Acoustics. 2009,131:1-5.

Transientresponseandnaturalvibrationcharacteristicsofportalframes

XU Lanlan, YU Yunyan

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Here, transient responses and natural vibration characteristics of portal frames were studied under shocking load with the reverberation-ray matrix method (RRMM). Firstly, the node displacement compatibility conditions and force equilibrium conditions were established under the local coordinate system. The dynamic response function of a portal frame was obtained with RRMM under the action of a square wave impulse exciting load. Afterwards, the transient response of the portal frame under the action of a unit impulse was obtained using the inverse fast Fourier transformation (IFFT) and the convolution transformation. Furthermore, natural frequencies and modal characteristics of the portal frame were discussed.

reverberation-ray matrix method, portal frame, transient response, natural vibration frequency, mode

国家自然科学基金(51268031)；甘肃省基础研究创新群体资助(145RJIA332)；甘肃省自然科学基金(1107RJZA084)

2016-04-06 修改稿收到日期：2016-07-27

许兰兰 女，讲师，1978后生

余云燕 女，教授，博士生导师，1968年生

E-mail: yuyunyan@mail.lzjtu.cn

TH1

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.026