渗透数学模型思想，促进学生思维发展

刘军吉

【摘要】“数学建模”的过程就是实现“数学化”的过程。在小学数学课堂上，教师需要有效把握渗透数学模型思想的四大原则：激发学生探究欲望的原则、搭建台阶辅助支撑的原则、归纳概括抽象表达的原则、激发主动有序研究的原则。只有长期坚持在课堂上渗透数学模型思想，才能促进学生的数学思维向更高级别发展，联结数学解题与生活实际的关系。

【关键词】模型思想 思维发展核心素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中把数学模型思想归结为数学十大核心内容之一，强调建立数学模型思想就是让学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。同时，还提出要帮助学生建立数学模型思想的过程，即从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。可见教师在课堂上渗透数学模型思想有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

因此，我结合自己的数学课堂，努力在数学建模教学中建立以下四个基本原则：激发学生探究欲望的原则，搭建台阶辅助支撑的原则，归纳概括抽象表达的原则，激发主动有序研究的原则。

一、在数学模型中设计生活情境，激发学生探究欲望的原则

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学源自生活，又高于生活。当我们把生活实际问题带进数学课堂时，不仅能让学生感受到数学有用，还能激发他们的探究欲望和学习欲望。如在教学苏教版六年级上册第一单元“长方体和正方体表面积”的知识后，我结合生活中的包装设计了操作实践活动课“表面积的变化”，让学生借助学具操作，探索发现多个相同正方体、长方体拼搭后表面积的变化规律，体验解决问题的基本过程、方法與策略，并且总结出包装问题的模型。

师：同学们，今天我们来研究包装拼搭问题中“表面积的面积”，想一想现在老师给你2个小正方体，它们的表面积有什么变化。

生：用2个小正方体可以拼成1个长方体，我们发现可以左右叠，也可以上下叠。当它们拼出来后和原来相比少了2个面的面积。

教师结合学生的回答画表格板书：

师：如果有3个、4个、5个这样的正方体拼成一个长方体，表面积又会怎么变化呢？请你自己拼一拼，并填写表格。

（学生自己操作填表，教师巡视并指导）

师：同学们，在你们刚才的动手拼搭中，你们觉得正方体个数和减少的表面积之间有什么规律？

生：如果把n个正方体排成一排拼出长方体后，我们发现表面积会减少2（n-1）个面的面积。

师：刚才老师看到同样是4个正方体拼出来的长方体，但是它们的形状不一样，表面积会怎么样呢？

生：我们用4个正方体拼出了两种不同的长方体，一种长方体的表面积减少了6个面，另一种长方体的表面积减少了8个面。

师：看来把多个正方体拼成长方体的拼法不同，拼成后减少的面的面积也不相同。重叠的面越多，拼成的长方体的表面积就会越小。

在这个教学片段中，教师设计的数学活动由易到难，符合学生的年龄特点和认知水平，让他们在动手操作中不仅体会到成功的喜悦，还建立了正方体个数和减少的表面积、同样的正方体和减少的面不同等数学模型，为后续探究更多的正方体个数积累了数学活动经验。

二、在数学模型中拓展数学题组，搭建台阶辅助支撑的原则

数学模型思想的育人价值在于为学生搭建适合他们数学思维的辅助支撑，并且激发学生头脑中已有的生活经验，让他们感受到隐含抽象的数学问题，总结归纳出数学模型。如在教学苏教版四年级的“植树问题”一课时，教师把“两端不栽”“两端都栽”“只栽一端”这几种数学模型以题组的形式呈现，让学生在比较和迁移中发现这两种相似的数学模型之间的联系和区别。

师：[课件出示题目：绿化队要在相距60米的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？]同学们，请你先读一读题目，再解决这道题目。

生1：60+3=20（棵）。因为60米里面有3个20米，所以答案是20棵。

生2：60+3+1=21（棵）。我通过画图数出来答案是21棵，而且我们知道60米里面有20个3米，我们还要算上最后1棵树。

（师带着全班同学一起画图数数，并总结出“两端都栽”的数学模型）

师：如果用一个公式来表示“两端都栽”的棵数，你会怎么表示？

生：棵数一间隔数+1。

师：刚才我们解决了“两端都栽”的数学模型，现在我们还看看“两端都不栽”又会是怎么样呢？[课件出示题目：绿化队要在相距60米的小路一边植树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？]

生：60+3-1—19（棵）。因为这道题目两端都不栽，当我们种到最后一棵时，正好是末端，这棵树不能算。

师：现在我们一起想一想，刚才我们在解决“两端都不栽”的问题时，你发现了什么？

生：棵数=间隔数-1。

在这个教学片段中，教师通过把相近的“植树问题”以数学题组的方式呈现，层次清晰，引导学生由表及里地认识“植树问题”的各种规律，通过前面铺垫里的数学规律让学生发现一一间隔排列的规律，在此基础上，让学生自己画一画的过程中发现两端都栽的情况下会多1，两端都不栽的情况会少1。这样的数学活动设计既能让学生更加直观地发现不同类型“植树问题”之间的异同点，还能为学生解决数字更大和更加复杂的“植树问题”提供数学公式模型。

三、在数学模型中增加动手操作。归纳概括抽象表达的原则

动手操作的实践活动有助于让数学活动更加直观且富有个性，还能让教师更加清晰地看到学生的思考过程。因此，我们在数学课堂教学时倡导动手操作、自主探索、合作交流等学习活动，让学生在彼此交流中碰撞出数学的思维火花，努力构建出让更多人能理解的数学模型。如我在教学苏教版六年级下册“圆锥的体积”一课时，在课堂上让学生借助圆柱、长方体、正方体和圆柱等学具进行倒满沙子的活动，从而发现圆锥和圆柱体积之间的关系。endprint

師：同学们，我们在上一节课学习圆柱的体积时用了转化的数学思想方法，这一节课我们要来学习圆锥的体积，想一想你们能把它转换为我们学过的什么图形？

（学生有的说长方体，有的说正方体，有的说圆柱等）

师：接下来，请大家4人一组，利用桌上的学具进行操作，研究出圆锥体积的计算方法。

（教师巡视，并观察学生的操作情况）

生1：我们组选择了长方体和圆锥进行装沙，我们把圆锥里的沙倒进长方体容器里，没有发现什么联系。

生2：我们组选择了圆柱和圆锥进行装沙，把圆锥里的沙倒进圆柱里，我们倒了3次才把圆柱装满。所以我们组认为圆柱的体积是圆锥体积的3倍，我们知道了圆柱的体积，想要知道圆锥体积只要除以3就可以了。

师：那请大家仔细观察这个圆柱和圆锥的底面和高，你觉得它们有什么关系？

生：这个圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。

师：看来等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱的体积的1/3。那是不是所有等底等高的圆柱和圆锥都有这样的规律呢？

（学生动手挑选等底等高的圆柱和圆锥进行验证，发现它们之间都存在着圆锥体积是圆柱体积的1/3的规律）

师：在数学上，我们可以用字母来表示圆锥体积，就是V=1/3。

在这个教学片段中，教师为学生提供了丰富的操作学具，学生需要从这些学具里挑选出自己需要的学具进行创造性学习，而且在动手操作中他们通过不断的猜想、分析、调整、试验、总结寻找到最合适的学具，从而归纳概括出圆锥体积和圆柱体积之间的联系。这样的教学设计让学生充分体验到建立数学模型的过程，丰富了他们的数学活动经验。

四、在数学模型中尝试化大为小，激发主动有序研究的原则

“化大为小”是数学建模中的一种数学思想方法，通过把题目中的数目变小有助于寻找到解决问题的突破口，从而建立这种题型的数学模型，为解决更复杂的题目服务。如在教学苏教版四年级“烙饼问题”一课时，教师以大数目问题激发需求，与学生一起讨论怎么烙饼产生的时间最少，最终优化概括出“烙饼问题”的数学模型。

师：同学们，在生活中我们经常会遇到一些数学问题。比如，煮鸡蛋的时候，煮一个鸡蛋要8分钟，那煮8个鸡蛋需要多少分钟？

生1：我会一个一个地煮，八八六十四，所以煮8个鸡蛋需要64分钟。

生2：我想把8个鸡蛋要放在一起煮，只要8分钟就够了。因为放在一起煮就会节约很多时间。

师：今天我们就来研究像煮鸡蛋、烙饼这样的问题。（课件出示题目：同时烙2张饼，两面都要烙，每面3分钟，100张要多少时间？）同学们，我们先一起来读一读题目，再想一想你会怎么做。

生：我觉得要算100张要多少时间有点难，我们可以先算出烙2张饼需要多少时间，再去算烙100张需要多少时间。

师：好，我们从小数目开始研究，先研究烙2张的情况，请你在练习本上算一算。

生：我们可以两张饼一起烙，先烙第一张的正面和第二张的反面，需要3分钟；再烙第二张的反面和第一张的正面，也需要3分钟。所以一共要6分钟。

师：如果烙3张饼，你们觉得最少要多少分钟呢？

生：9分钟。我是这样烙饼的，先烙饼第一张的正面和第二张的反面，需要3分钟；再烙饼第一张的反面和第三张的正面，需要3分钟；最后烙饼第二张的正面和第三张的反面，也需要3分钟。所以一共要9分钟。

在这个教学片段中，教师出示大数目的烙饼问题，学生巧妙地化大为小，从最简单的烙饼2张、3张开始，在数的累加过程中发现奇偶数的规律，即当烙饼张数n为偶数时，所需要的最少时间是n÷2×6=3n；当烙饼张n为奇数时，所需要的最少时间是9+（n-3）÷2×6=3n。最终在学生头脑中建立“烙饼问题”的数学模型。

总之，在小学数学课堂上教师虽然渗透模型思想是一个长期且综合的过程，但是要有意识地让学生在探索的知识的过程中去经历数学建模的过程。这样既能让学生感觉到数学是看得见摸得着的，还能让学生利用数学建模的思想去解决更多的数学问题，加深对数学知识的理解和掌握，触及数学模型的数学本质，最终培养学生良好的数学思考力和数学学习习惯。endprint