涉及实零点的亚纯函数的Picard 型定理Ⅱ

2017-09-15赵海燕刘晓俊

上海理工大学学报 2017年4期

关键词：亚纯上海理工大学零点

赵海燕, 刘晓俊

(上海理工大学理学院,上海 200093)

涉及实零点的亚纯函数的Picard 型定理Ⅱ

赵海燕, 刘晓俊

(上海理工大学理学院,上海 200093)

超越亚纯函数; 实零点;Picard型定理; 正规族

1 问题的提出

1959年,Hayman[1]证明了如下的Picard型定理:

定理1 设f是复平面C上的亚纯函数,k∈+,若f≠0,且f(k)≠1,则f≡常数.

1979年,顾永兴[2]证明了对应的正规定则:

定理2 设F为区域D内的亚纯函数族,k∈+,若对任意f∈F,f≠0,且f(k)≠1,则F在D内正规.

2013年,童晓丽等[3]从另一方面将定理2中的限制条件“f≠0”减弱为“f的零点分布在一条直线上”,得到定理3.

定理3 设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对任意的f∈F,有:

b.f的零点分布在一直线上;

c.f的极点重级m≥3;

d.f′≠1.

则F在D上正规.

2015年,洪苏敏等[4]又将定理3中的条件“f′≠1”改为“f′≠zd”,得到定理4.

定理4 设d∈+,F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对任意的f∈F,有:

b.f的零点分布在一直线上;

c.f的极点重级m≥3;

d.f′≠zd.

则F在D上正规.

2003年,Bergweilier等[5]将定理1中的条件“f(z)≠0”减弱为“f的零点和极点除有限多个外都是重级的”,并把例外值推广到“不恒为零的有理函数”,得到定理5.

定理5 设f是一个超越亚纯函数,R是一个有理函数,且R≢0,f的零点和极点除有限多个外都是重级的,则f′-R有无穷多个零点.

2016年,徐成雨等[6]在定理5的基础上,把“f的零点是重级的”减弱为“f只有实零点”,得到了例外函数是多项式的Picard型定理6.

定理6 设d∈+,f是复平面C上的超越亚纯函数,若存在M≥0,使f满足:

b.f的零点均为实数;

c.f的极点重级至少为3.

则f′-zd有无穷多个零点.

本文在定理6的基础上进一步考虑例外函数是有理函数的情况,得到定理7.

定理7 设f是复平面C上的超越亚纯函数,若存在M≥0,使f满足:

b.f的零点均为实数;

c.f的极点重级至少为3.

定理8 设F是定义在单位圆盘Δ上的亚纯函数族,若存在M>0,使得对任意的f∈F,有

b.f的零点均为实数;

c.f的极点重级至少为3;

则F在Δ上正规.

2 主要引理

a.点列zn→z0;

b.函数列fn∈F;

c.正数列ρn→0+.

由Ahlfors-Shimizu特征函数[8-9]的表达式可知,若g为Julia例外函数,则当r→时有T(r,g)=O((logr)2).

引理2[5]设g是一个亚纯函数,但不是Julia例外函数,则存在C上的点列{an},当n→时,有an→,g(an)→0,ang′(an)→.

引理3[5,10]超越Julia例外函数没有渐近值.

引理4[11]设F={fn}为单位圆盘Δ上的亚纯函数族,k∈+,{bn}是Δ上的全纯函数列,且在Δ上,bn1,若则F在Δ上正规.

引理5[5]设f为超越亚纯函数,R是一个有理函数,满足:当z→时,R(z)～czd,这里c∈C(〗0},d∈.若f′-R仅有有限多个零点,且r→时令g(z):=,当d=-1时,g:=f,则g有一个渐近值.

3 定理7的证明

故由引理2知,存在点列{an},当n→时,有an→,g(an)→0,ang′(an)→,从而有anf(an)=.

设an=xn+iyn,下面分两种情形讨论.

情形1 假设xn→x0∈R,yn→.

又因为

故

又由于当n→时,1-i→1,由Marty正规定则知,{fn(z)}在z=1处不正规,矛盾.

情形2xn→,下面再分两种情形讨论.

令fn(z)=iynf(iynz),处理方法如上,同样可得出矛盾.

又因为

故

4 定理8的证明

4.1 在证明定理8之前先证明一个引理

引理7 设{fn}是复平面C上的一族亚纯函数,fn的零点均为实数,极点重级至少为3,若存在M>0,使fn满足:

则f≡常数.

由定理7知f(z)为有理函数,分两种情形讨论.

由于f不是常数,fn⟹f,且f(0)=,f(z)≢,故由Hurwitz定理知存在zn→0,使得fn(zn)=.又因为fn(0)≠,故zn≠0.

因为上式两端都是整数,故对充分大的n有

由幅角原理可知

从而f≡常数,引理得证.

4.2 定理8的证明

由定理3的证明知F在Δ′上正规,只需要证明F在z=0处正规即可.令F1={H=z2f:f∈F},对任意的f∈F,由定理条件知f′(0)≠,因此f(0)≠,所以对任意的H∈F1,H(0)=0,显然F1在Δ′上正规.下面证F1在z=0处正规.

假设F1在z=0处不正规,由引理1知,存在点列zn→0,正数列ρn→0+,函数列{Hn}∈F1,使得

其中,g(ζ)为非常值有穷级亚纯函数,且满足g#(ζ)≤g#(0)=M+1.

然后分情形讨论.

断言:

b.g′(ζ)≠1;

c.g(ζ)的零点在一直线上.

得

(zn+ρnζ)2fn′(zn+ρnζ)=

再由Hurwitz定理知存在点列ζn,ζn→ζ0,当n充分大时有(zn+ρnζn)2fn′(zn+ρnζn)=1.这与定理条件矛盾,故断言b得证.

显然 ,g(ζ)的极点重级至少为3.故由定理3的证明知上述g(ζ)不存在.

令

则g(ζ-α)在ζ=0处的零点重级至少为2,所以G(0)≠.

令G≡c(c为常数),由于g为非常值亚纯函数,故c≠0,由Gn(ζ)=ρnfn(ρnζ)知,当n→时fn(0)=→,下面再分两种情形讨论.

所以F1在z=0处正规,所以F1在区域Δ上正规.

下证F在Δ上正规.任取{fn(z)}∈F,令Hn(z)=z2fn(z),则{Hn(z)}∈F1,又由于F1在z=0处正规,所以存在{Hn(z)}的子列(仍记为{Hn(z)}),η>0,使得{Hn(z)}在Δ(0,η)上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数H(z).由于fn(0)≠,所以Hn(0)=0,令n→得H(0)=0.所以存在η1>0,使得对任意的z∈Δ(0,η1)有由于{Hn(z)}在上按球距内闭一致收敛于H(z),所以对任意的有对任意的有fn(z)≠,所以fn(z)在上解析. 而在上由最大模原理知在上由Montel正规定则知,F在上正规.又由定理3的证明知,F在Δ′上正规,因此F在上正规.定理得证.

[1]HAYMANWK.Meromorphicfunction[M].Oxford:ClarendonPress,1964.

[2]GUYX.Anormalcriterionofmeromorphicfamilies[J].ScientiaSinica,MathematicalIssue(I),1979,1:267-274.

[3] 童晓丽,刘晓俊.零点位于直线上的亚纯函数的正规定则[J].上海理工大学学报,2014,36(4):362-365.

[4] 洪苏敏,刘晓俊.零点分布在直线上的亚纯函数的正规定则[J].上海理工大学学报,2016,38(3):211-217.

[5]BERGWEILERW,PANGXC.Onthederivativeofmeromorphicfunctionswithmultiplezeros[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2003,278(2):285-292.

[6] 徐成雨,刘晓俊.涉及实零点的亚纯函数Picard型定理[J].上海理工大学学报,2016,38(5):414-418.

[7]PANGXC,ZALCMANL.Normalfamiliesandsharedvalues[J].BulletinofLondonMathematicalSociety,2000,32(3):325-331.

[8] 顾永兴,庞学诚,方明亮.正规族理论及其应用[M].北京:科学出版社,2007.

[9] 杨乐.值分布论及其新研究[M].北京:科学出版社,1982.

[10]LEHTOO,VIRTANENKL.Onthebehaviourofmeromorphicfunctionsintheneighbourhoodofanisolatedsingularity[J].AnnalsoftheAcademyofScienceFenn,SeriesA,1957,240:1-9.

[11]PANGXC,YANGDG,ZALCAMANL.Normalfamiliesandomittedfunctions[J].IndianaUniversityMathematicsJournal,2005,54(1):223-236.

[12]WANGYF,FANGML.Picardvaluesandnormalfamiliesofmeromorphicfunctionswithmultiplezeros[J].ActaMathematicaSinica,1998,14(1):17-26.

(编辑:丁红艺)

Picard Theorem Ⅱ of Meromorphic Functions with Real Zeros

ZHAO Haiyan, LIU Xiaojun

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)