基于Biot固结理论的地面沉降研究综述

孔祥如，罗 勇,2，赵 龙，齐鸣欢，田苗壮，王新惠，沙 特

（1.北京市水文地质工程地质大队，北京 100195；2.中国科学院地质与地球物理研究所，北京 100029）

基于Biot固结理论的地面沉降研究综述

孔祥如1，罗 勇1,2，赵 龙1，齐鸣欢1，田苗壮1，王新惠1，沙 特1

（1.北京市水文地质工程地质大队，北京 100195；2.中国科学院地质与地球物理研究所，北京 100029）

城市地面沉降与地下水开采引发的饱和土体压缩固结密切相关，Biot固结理论准确的描述了孔隙水压力消散与土体骨架变形的相互关系，以该理论为基础建立的多孔介质流固耦合模型在地面沉降数值计算中得到了广泛的应用。在调研大量相关文献后，对Biot固结理论研究进展和获取Biot系数的试验方法等方面进行了系统的总结和阐述，综述了国内外以为Biot固结理论基础的地面沉降研究成果，认为其能较好的反映地面沉降的真实规律，同时提出Biot固结理论在饱和土体的各向异性、应力应变本构关系方面与土体的实际变形特性存在差异等问题，因此仍具有进一步研究和完善的空间。

地面沉降；Biot固结理论；流固耦合；Biot系数

地面沉降是指发生在较大面积的地表高程降低、地面缓慢变形的现象和持续过程[1]，是一种常见的城市地质灾害，长期积累的地面沉降会给城市造成难以弥补的经济损失和日益严重的地质环境问题。目前，全世界有超过60个国家存在地面沉降问题，而在我国，大约有7.9万km2的国土面积累积地面沉降量已经超过了200mm[2]。自20世纪30年代发现地面沉降以来，国内外学者就开始对地面沉降予以广泛关注和研究，包括从地面沉降的成因、机理、危害、监测、预测和防治等方面进行了长期多学科的科学研究，其中对地面沉降机理的研究开展的时间较早，从最初基础理论的提出，到现在采用计算机技术建立耦合数值模型，不断提高了对地面沉降的认识，对于地面沉降预测、防治等方面的研究具有重要的指导意义。

地下水的超量开采是造成地面沉降发生的主要原因，根据太沙基提出的有效应力原理，有效应力等于总应力减去孔隙水压力[3]。认为开采承压水或半承压水导致测压水位下降，孔隙水压力降低，有效应力增大，引起砂层骨架发生压缩，并第一次推导出土的固结理论。但它只考虑了在一维条件下的土体固结，而忽略了在二维、三维固结过程中总应力受变形协调条件的影响，因此在计算二维、三维问题时是不够准确的[4]。M.A Biot于1941年提出了三维固结理论，Biot固结理论的基本假设为土体骨架为饱和、介质均匀多孔、变形符合弹性理论、流体的渗流符合达西定律，基于连续体基本方程的推导得出三维固结方程，能够准确的反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系[5]，被称为真三维固结理论。Biot固结方程为孔隙水压和土体变形量之间的耦合控制方程，因此以Biot固结理论为基础建立的地面沉降模型为可以同时求解地下水流动和土体受压变形的完全耦合模型[6]，其计算参数包括剪切模量、泊松比、孔隙水压力以及在三维方向上的渗透系数和位移分量。由于Biot固结方程引入的计算参数较多和过于复杂的解析过程，因此从建立方程后的几十年间，一直没有在地面沉降问题中得到广泛应用。随着计算机性能的不断提高和有限元分析方法的快速发展，促进了Biot固结理论在建立地面沉降模型方面的应用和研究。

1 Biot固结理论研究现状

在利用计算机进行有限元数值计算还未成熟之时，Biot固结理论面临着在数学上求解困难的难题，但是这并不妨碍人们对三维固结方程在轴对称和平面应变等比较简单情况下的应用和研究。Mcnamee John和Gibson R.E.（1960）[7]将多孔介质中的应力和孔隙压力用两个位移函数表示，引入Fourier变换和Laplace变换，求解了轴对称载荷作用下的Biot固结问题。Vardoulakis（1986）等人[8]基于耦合孔隙弹性介质的控制微分方程，利用位移函数和Laplace-Fourier变换将Biot固结方程简化为常微分方程，用于解决层状土的固结问题。J.R.Booker和J.C.Small（1987）[9]提出一种将设计轴对称的Biot三维固结问题减少到仅涉及单个空间维度的问题，适用于水平分层土壤的固结问题。这些研究成果采用数学的方法将Biot固结方程进行一定的简化，来求解理想条件下的三维固结问题。

宰金珉（2002）[10]建立了层状横向各向同性弹性半空间模型，提出了地基土Biot固结问题的有限层计算方法；何开胜等（2000）[11]从非线性连续介质力学出发，采用Jaumann应力率和Biot平面固结理论，计算对比了饱和土体大变形Lagrangian法与小变形法的沉降和孔隙压力差异；陈晓平、白世伟（2001）[12]考虑了软黏土的黏滞作用和固结作用，建立了描述堆载预压软土地基变形和空压消散的黏弹塑性Biot固结有限元模型分析了蠕变和固结的耦合效应及对地基变形的影响。

利用计算机建立有限元数值模型极大的提高了三维固结方程的解析速度，促进了Biot固结理论的应用和发展。杨林德、杨志锡（2002）[13]根据虚位移原理推导出饱和土体内各向异性渗流直接耦合的有限元法计算公式，针对直接耦合法所生成的病态方程采用 MATLAB语言编写出平面条件下的计算程序，对各向异性弹性多孔介质中Mandel效应进行数值模拟分析。邓岳保等（2012）[14]改变了Biot固结模型的基本假设，将达西渗流条件改为Hansbo非达西渗流定律，并基于加权残数法和空间八结点单元，推导了相应的有限元方程，并通过数值计算的方法验证了其可靠性。王华敬等（2008）[15]考虑到用邓肯—张模型求解Biot平面固结有限元参数过多，通过正交实验分析了各参数对固结沉降过程的影响程度。

2 Biot系数的研究现状

Biot在推导出土壤的三维固结方程的同时，建立了孔隙弹性理论，后人在此基础上进行了发展，在有效应力定律中引入了一修正系数，及Biot孔隙弹性系数α，简称Biot系数α[16]。Biot系数α定义为当孔隙压力变化时，材料单元流体体积变化与该单元体积变化的比值，变化范围在3n/ (2+n)和1之间，其中n为孔隙率，对于不可压缩实体材料α=1，理想多孔介质的Biot系数可由介质体积模量推导得出[17]。Biot系数的引入，使Biot固结理论的应用范围推广到了岩石，不仅能够计算由于地下水开采导致土壤的地面沉降，而且能够计算由于石油、天然气及地热资源的开采引起的岩性地层压缩固结导致的地面沉降。

Biot系数通常利用岩石力学三轴压缩试验系统进行排水实验法获取，随着声波测试技术在岩石物理力学参数测试中的应用越来越广泛，声波测试实验也可以获得岩石的Biot系数。白林等（2015）[18]通过声波测试和室内岩石三轴压缩两种方法对岩石Biot系数进行测定，利用FLAC3D数值模拟软件对比了Biot系数为1和Biot系数为实验值得地层沉降量，得到沉降量与Biot系数的关系。葛洪魁[16]利用“不封套”加压试验、围压下的波速测量及“等质量变容变压”试验，测试砂岩的体积模量、排水体积模量和不同压力下的癸烷模量，建立了砂岩Biot系数的预测模型。另有学者采用Cross-plotting法测定岩石的Biot系数。程远方（2015）[19]分别以Cross-plotting法、排水实验法和声波动态法测试不同渗透性天然岩芯的Biot系数，揭示了Biot系数的影响因素。

3 Biot固结理论在地面沉降模型中的应用

运用Biot固结理论建立的地面沉降模型被称为完全耦合模型，它与部分耦合模型的区别在于完全耦合模型将土体的变形模型和地下水的流动模型置于统一的物理场中，使得孔隙水压力变化和土体骨架变化之间的相互影响得到充分考虑，该模型的地下水流和土体变形既可以是一维的，也可以是二维或三维的，不仅反映地面沉降，而且能反映地层的水平位移。

Tarn等（1991）[21]建立了从饱和的各向异性多孔弹性半空间中抽取流体引起孔隙水压力变化的模型，讨论了由孔隙水的各向异性和边界条件影响的固结沉降。Savage等（1991）[22]基于Biot固结理论建立了静水压力下横向固结各向同性多孔介质的岩石固结模型。Dassagues（1995）[23]在有效应力的函数中引入压缩系数和渗透系数，建立了完全非线性的流固耦合地面沉降模型。

近年来，我国在地面沉降三维耦合固结模型方面的研究也取得了一些进展。曹书文等（2011）[24]利用Biot固结模型对基坑降水引发的地面沉降进行了有限元分析。陈杰等（2003）[25]在回顾地面沉降研究现状的基础上，提出采用Biot固结理论进行由降水形成的渗流场与应力场的耦合分析，并运用二维Biot固结平面有限元程序计算因开采地下水而引起的地面沉降问题，最后通过工程实例验证了该方法的可行性。

邓肯─张双曲线模型能较好的反映土体非线性形态，适合在沉降耦合模型中作为土体的本构模型。骆祖江等（2009，2013）[26]以Biot固结理论为基础，引入邓肯─张非线性模型和渗透率动态模型，并应用Galerkin加权余量法离散方程求解模型，模拟分析了沧州市地面沉降发展趋势，预测了吴江市地下水可开采量。王华敬等（2009）[27]建立了Biot平面固结随机方程，研究了随机场在邓肯-张本构模型中对地面沉降规律的影响。

4 结论与展望

本文通过对Biot固结理论研究文献的回顾和总结，论述了Biot固结理论作为重要的多孔介质流固耦合理论在地面沉降计算中的应用和研究，认为其能够较好的反映孔隙水压力改变与土体骨架压缩之间的关系，是目前为止较为精准的地面沉降理论模型之一。但是理论模型仍然是对地面沉降机理的概化，其理论基础是基于饱和土体的各向异性、应力应变本构关系等基本假设，理想模型与实际地层情况的差异性不能忽略，因此，对含水层系统的真正沉降机理仍需作进一步的研究，比如含水层和隔水层的相互作用机理以及压缩层对水位变化的滞后效应等，都是亟待完善和解决的地方。

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A review of land subsidence based on Biot consolidation theory

KONG Xiang-Ru1, LUO Yong1,2, ZHAO Long1, QI Ming-Huan1, TIAN Miao-Zhuang1, WANG Xin-Hui1, SHA Te1
(1.Beijing Institute of Hydrogeology and Engineering Geology, Beijing 100195, China; 2.Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Science, Beijing 100029, China)

Urban land subsidence is closely related to saturated soil compression and consolidation, induced by groundwater exploitation.Biot consolidation theory describes the interrelation between the vanishing of pore water pressure and the deformation of the soil mass skeleton.This review systematically presents the research progress of Biot consolidation theory, including the experimental method of obtaining the Biot coefficient.The research results of the application of Biot consolidation theory at home and abroad are summarized in this review.Biot consolidation theory is thought to better reflect the true law of land subsidence.This review also proposes that Biot consolidation theory has differences with actual deformation behavior in saturated soil anisotropy and the stress-strain dynamic constitutive relationship.These research topics need future study and analysis.

land subsidence; Biot consolidation theory; fuid-solid coupling; Biot coeffcient

P642.26

A

2095-1329(2017)03-0074-04

10.3969/j.issn.2095-1329.2017.03.017

2017-03-01

修回日期: 2017-05-26

孔祥如(1989-),男,硕士,助理工程师,主要从事地面沉降与地裂缝等地质灾害研究.

电子邮箱: kxr161@163.com

联系电话: 010-51560328

北京市科技计划课题(Z13110000 5613022);北京市自然科学基金项目(8162043);北京市地面沉降监测系统年运行费项目(PXM2015-158305-000011;PXM2016-158305-000004);基于北斗卫星的地面沉降监测(121211220184);通州城市副中心地区重大地质问题调查与评价项目地面沉降专题(PXM2016-158203-000008)