一题多解之等线段的证明

胡宇+王宗海

【摘 要】等线段的证明在平面几何学中非常常见，也是证明平面几何问题的基础.本文通过几何关系和代数关系两个大方向，分析等线段证明的技巧和方法，挖掘“形”和“数”两个方面数据，在复杂的现象中找到简单的规律，从而将问题简化，得出结论。

【关键词】平面几何；证明；几何关系；代数关系

弄清数学概念、知识间的内在关联，是解决数学问题必不可少的前提[1]。几何学是研究空间关系的数学分支，而平面几何是几何学的一个重要组成部分，是人们认识几何学的基础.本文对平面几何中一个具有代表性的问题给出不同的证法，总结平面几何问题的解题方法，将这些方法抽象与概括，从而得到解决这类问题的方向。

一、问题

如图1，在的两条边和上向外作正方形和，则边上的高线平分线段[2]。

二、各类证法

证法一：如图2所示.欲证AD平分FH，即证：FM=MH，由于图1中看不出以FM和MH为对应边的全等三角形，所以我们从F，

∠QAH+∠HAC+∠CAD=180°H向AD作垂线FP、HQ。

∵在Rt△AQH和Rt△CDA中有AH=AC，∵且∠QHA+QAH=∠HAC=90°，∴∠QAH=∠DCA，∴△AQH≌△CDA，故HQ=AD；同理可得△APF≌△BDA，故FP=AD，∴HQ=FP，又∵∠FMP=∠HMQ，∴Rt△MQH≌Rt△MPF，故FM=MH 证毕

上述证明过程中主要运用了全等三角形的思想，但其不能直接使用，所以这里是将欲证线段构造在两个不同的三角形中，这样便可以联想到用全等三角形证明. 在探求这两个三角形中各要素之间的关系时，利用转化的方法找到其对应关系。

证法二：欲证AD平分FH，我们可以通过FA、AH为邻边构造平行四边形AHQF，那么平行四边形的对角线相互平分，如图3.故欲证AD平分FH，只需证QA和MD重合，所以，仅需证明D、A、Q三点共线即可。

∵QH=BA∠BAC=∠QHAHA=AC，∴△AHQ≌△CAB ，即∠QAH=∠BCA.又∵∠DAC+∠BCA=90°，∴∠DAC+∠QAH+∠HAC=180°，即D、A、Q在一条直线上，故DA的延长线平分FH. 证毕

证法2主要考虑到平行四边形的对角边互相平分，为了使对角线刚好是垂线AD，就要证明这两条直线是重合的.用到了三点共线和全等三角形等知识，比证法1要简洁一点.

证法三：如图4所示，以FH为边，延长HA使AP=HA构造△HFP.

∵∠BAC+∠FAH=180°，又∠PAF+∠FAH=180°，

∴∠PAF=∠BAC，∴FA=BAAP=AC∠PAF=∠BAC，

∴△FPA≌△BAC.即∠FPA=∠BCA，

又∵∠BCA+∠CAD=90°，∠MAH+∠CAD=90°，

∴∠BCA=∠MAH.

∴∠FPA=∠MAH，故FP//MA.又∵A为HP的中点，∴M为FH的中点. 证毕

这一证法利用三角形中位线和三角形全等的知识，而三角形中位线与梯形中位线有相似的特性，所以本题也可以构造梯形进行证明.以上几种方法主要从“形”的角度进行思考，下面就“数”的方向给出两种证明方法[3]。

证法四：如图5所示，欲证AD平分线段FH，只需转化为证■=1。

设AB=？琢，AC=b，∵■=■，■=■，∠FMA+∠HMA=180°，

∴■=■由題意∠1=∠3，∠2=∠4，故■=■=■=■=1，∴FM=HM 证毕

证法四应用边比定理：若D是△ABC的BC边上任一点，则■=■.运用比例式和转化的思想，将所要求的线段最终化归为一个图形中的元素，达到证明的目的。

证法五：如图6.以BC为X轴，AD为Y轴作直角坐标系，只需证得FH的中点在Y轴上即可。

设AB=？琢，AC=b，∠ABC=？琢，∠ACB=？茁，则F点坐标为：（-？琢sin？琢，？琢sin？琢+？琢cos？琢），H点坐标为：（bsin？茁，bsin？茁+bcos？茁），所以FH的中点坐标为：[■（bsin？茁-？琢sin？琢），■（？琢sin？琢+bsin？茁+？琢cos？琢+bcos？茁）]，又因为？琢sin？琢=bsin？茁，所以FH的中点坐标为[0，■（？琢sin？琢+bsin？茁+？琢cos？琢+bcos？茁）]，即FH的中点在Y轴上，所以FH被AD平分. 证毕

证法五主要运用了线段中点的坐标特性，这种方法直观形象，也是运用数表现形的典范。

三、总结

总之，熟悉常见辅助线的构造，掌握所需的定理、公式，对所学知识进行系统的梳理，温故而知新，为认识其他问题提供方向，达到举一反三的效果. 在证明平面几何问题时，可以分别从几何关系和代数关系两个方向思考，数形结合，从而达到解决问题的目的。

参考文献：

[1]钱桂保.认识问题的本质，探究简捷的方法[J].基础教学，2015，8（31）：265-266

[2]朱德祥，朱维宗.初等几何研究第二版[M].北京：高等教育出版社，2003：22-23

[3]李培.由数表形、以形验数是数形结合法本质[J].关注数理化研究，2009，32：52-53endprint