某些近于凸函数的子族的一些性质

傅秀莲

(广东工贸职业技术学院 计算机系， 广州 510510)

某些近于凸函数的子族的一些性质

傅秀莲

(广东工贸职业技术学院 计算机系， 广州 510510)

本文介绍和研究了一个近于凸函数的子族Ks(λ，α，β)的问题. 得到了包含关系，系数不等式和卷积等性质，推广了Ks(α，β)结果．

近于凸函数； 卷积； 系数估计

用A表示在U={z：z∈C，|z|<1}上形如

的全体解析函数所成的函数类．用S表示在A中全体单叶函数族．

设f(z)和F(z)在U内解析，如果存在U内的解析函数w(z)使得|w(z)|≤|z|且满足f(z)≡F(w(z))，则称f(z)从属于F(z)，记为f(z)F(z)或者fF．若f(z)在U内单叶，则f(z)F(z)当且仅当f(0)=F(0)和f(U)⊂F(U)．

本文模仿C(k)(λ，α，β)的定义，给出了函数族Ks(λ，α，β)的定义，定义如下：

定义1 设0≤α≤1，0<β≤1，0≤λ≤1，如果函数f(z)∈A满足

特别地，Ks(0，α，β)=Ks(α，β)，所以Ks(λ，α，β)是Ks(α，β)的推广．

为了得到定理，需要下面的几个引理．

其中

B2n-1=2b2n-1-2b2b2n-2+…+

则G(z)∈S*.

主要结论：

定理1 设0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ≤1，则f∈Ks(λ，α，β)当且仅当

则式(2)可以写成

定理2 设0≤α≤1，0<β≤1，0≤λ≤1，则Ks(λ，α，β)⊂C⊂S．

下面分两种情况讨论：

1)当λ=0，显然f(z)=F(z)∈C．

定理3 设0≤α1≤α2≤1，0<β1≤β2≤1，0≤λ≤1．则Ks(λ，α1，β1)⊂Ks(λ，α2，β2)．

证明：设f(z)∈Ks(λ，α1，β1)，由定理1可得

其中B2n-1由式(4)给出．

证明：令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z)，通过计算可得

所以F(z)和G(z)满足引理5的条件，由式(5)可得式(7)．

成立，其中B2n-1由式(4)给出，则f∈Ks(λ，α，β)．

证明：令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z)，通过计算可得

则对于z∈U，有

M=|zF′(z)-G(z)|-β|αzF′(z)+G(z)|=

取|z|=r<1，有

(9)

其中[]表示高斯符号．

由引理6有

另一方面，由引理7有

把f(z)，G(z)和p(z)的表达式代入式(10)，得到

(1+p1z+p2z2+p3z3+…+pnzn+…)

(z+B3z3+…+B2n-1z2n-1+…)=

z+2(1+λ)a2z2+…+2n(1+(2n-1)λ)a2nz2n+

从式(13)可得

2n(1+(2n-1)λ)a2n=p1B2n-1+p3B2n-3+

(2n+1)(1+2nλ)a2n+1=B2n+1+p2B2n-1+

结合式(11)，(12)，(14)和(15)可以得到

由式(16)和(17)可得式(9)．证毕．

定理7 令|ξ|=1．则f(z)∈Ks(λ，α，β)当且仅当

其中G(z)由式(3)给出．

证明：设f(z)∈Ks(λ，α，β)，由定理1可得

这等价于

式(19)可以写成

注意到

把式(21)和(22)代入式(20)，可以得到式(18)．证毕．

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[责任编辑 王迎春]

Some Properties of Certain Subclass of Close-to-Conves Functions

Fu Xiulian

(Department of Computer Science, Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510, China)

A certain new subclassKs(λ，α，β) of close-to-convex functions is introduced and discussed. The results such as inclusion relationships,coefficient inequalities and convolution property are derived, so as to generalize the results of the subclassKs(α，β).

close-to-convex functions; convolution; coefficient bounds

2016-12-05

广东省自然科学基金自由申请项目“随机Laplace-Stieltjes变换的值分布与复方程解的存在性”(2015A030313628)

傅秀莲(1979-)，女，硕士，副教授，主要研究方向为复分析及其应用．E-mail： xxfxl@163.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.022

O174.51

A

1672-948X(2017)04-0106-04