含微裂纹悬臂梁摩擦阻尼分析研究

莫佳亮

【摘 要】本文的研究对象是含微裂纹均质悬臂梁结构摩擦阻尼，本文通过理论和仿真分析两方面，先后建立一种含单条微裂纹的摩擦阻尼单胞模型和含有规则裂纹的悬臂梁模型，得到的结果对于研究含微裂纹的低粘性材料结构具有一定的参考依据。

【关键词】阻尼；摩擦耗能；细观力学；微裂纹

结构的噪声、振动等动态响应会直接受阻尼等动态特性的影响，因此在结构及系统设计和分析中应充分考虑其特性。结构中的阻尼既可来源于外部的阻力，也可来源于结构内部的耗散。根据结构的材料特性及工作环境，阻尼机理一般可以分为以下几种：（1）材料自身的粘弹特性；（2）界面相的阻尼（主要针对复合材料）；（3）损伤引起的阻尼；（4）粘塑性阻尼；（5）热弹性阻尼。在上述几种阻尼机理中，绝大多数的阻尼研究都集中于第一种。

损伤对阻尼的影响，主要可以分为两部分，第一部分为裂纹面上的动摩擦作用而引起的能量损耗，第二部分为裂纹开裂和扩展时，形成新裂纹面所吸收的能量。此外，当损伤大量存在且损伤尺寸较大时，结构的整体受力也会发生变化，进而影响结构的阻尼特性。以往的阻尼研究中，虽然会涉及到损伤对于阻尼的影响，但很少会直接给出损伤与阻尼的量化关系。

1 理论模型

在阻尼特性研究中，阻尼多用比阻尼容量ψ来表征，其表达式如下

当外载荷为循环交变载荷时，微裂纹就会处于周期性的张开闭合交替状态。当裂纹闭合时，根据II型裂纹的裂尖位移场，可得到裂纹两个面的相对位移，表达式如下

式中，G为材料剪切模量。κ=（3-v）/（1+v），v为材料泊松比。βa为裂尖奇异性主导区域半径，0<β<1，本文β取0.5。r为裂纹面上任一点至较近一端裂尖的距离，a为裂纹半长。KⅡ'为裂纹面上摩擦力和单胞边界载荷共同作用时的应力强度因子，其表达式如下

式中，σN是接觸压力峰值。〈 〉为单边符号，当符号内表达式值为负时，结果为零，此时裂纹处于静摩擦状态；而当该符号内表达式值为正时，结果取原值，此时裂纹处于动摩擦状态。

当裂纹面闭合时，裂纹面上的接触压力可视为在裂纹面上均为分布，并等于方向的单胞边界载荷。而当裂纹张开时，此时裂纹面上无接触压力。当在单胞边界上施加周期性对称正弦载荷时，微裂纹面上的接触压力可表达为

因单胞内部存在裂纹，当单胞的剪切和拉伸变形同时达到最大时，单胞的应变能达到最大。但在本文中，由于裂纹的尺寸较小，不讨论裂纹对于应变能的影响。

因忽略微裂纹对应力分布的影响，悬臂梁的宏观应力分量可直接由弹性力学得到

式中，q为施加在悬臂梁上表面的周期性对称正弦均布载荷，L和h分别为悬臂梁的长和高，如图1。通过转换公式将应力分量从整体坐标系下转换至局部坐标系下，作为单胞模型的边界载荷，就能得到单条裂纹在一个载荷周期内的摩擦耗能。将所有裂纹的摩擦耗能叠加，就能得到一个载荷周期内整个悬臂梁的摩擦耗能Efr，其表达式为

其中，下标“j”表示第j条裂纹，Nc为悬臂梁中微裂纹总数量。F为应力强度因子修正系数，为修正相邻裂纹之间的相互影响，其数值可在应力强度因子手册上查到。

悬臂梁的应变能可通过将应变能密度积分得到，最后得到整个悬臂梁的摩擦阻尼。

2 仿真分析

建立如图2的有限元单胞模型，为验证单胞模型的准确性，有限元模型计算结果与相应的理论模型计算结果进行了对比，材料参数和摩擦系数见表1。

从表2中可以看到，理论模型的计算结果与仿真结果有着较好的一致性。同时，摩擦耗能随着裂纹长度的增大而增大，并接近成二次关系。

为验证悬臂梁模型的准确性，建立有限元模型与相应的理论模型进行对比。悬臂梁的长度为1000mm，高度为200mm。两排的长度、角度、间距均相同的微裂纹对称地预设在悬臂梁中面的两侧，每排共有8条微裂纹，分别假设了三种微裂纹的长度（a=3mm，5mm，10mm），裂纹角度均取θ=π/4，应力强度因子修正系数F均取1.01。均布载荷的峰值由0.05MPa递增至0.5MPa。悬臂梁的材料参数和动摩擦系数与单胞算例相同。图3为分别由理论模型和有限元模型计算得到摩擦耗能Efr与均布载荷q的变化关系图。

结果显示，理论模型和仿真分析的计算结果有着很好的一致性，理论模型计算结果略低于仿真分析结果。此外图3结果显示，摩擦耗能Efr与均布外载荷q成二次关系。

悬臂梁摩擦阻尼ψfr的计算对比结果见表3。

从表2中可以看到，理论模型计算得到的结果与仿真分析结果相对接近。同时，摩擦阻尼与裂纹半长a成二次关系。对比球墨铸铁，Mg-Zn-Y-Zr合金的阻尼8.4E-3和1.3E-2，当这些材料内部存在微裂纹时，其阻尼会因摩擦作用而会显著上升。

3 总结

常用的工程材料中都普遍存在着微裂纹。本章针对均质材料，建立了一种可预测由微裂纹引起的摩擦阻尼模型，通过建立含单条微裂纹的摩擦阻尼单胞模型，分析了裂纹长度对于单胞摩擦耗能的影响。基于此单胞模型，建立了含有规则裂纹的悬臂梁模型，研究了裂纹长度和外载荷对于摩擦耗能和摩擦阻尼的影响。对比了常用工程材料的阻尼值，证明了对于低粘性的材料，例如铸铁等，由微裂纹引起的摩擦阻尼是不可忽略的。

[责任编辑：朱丽娜]