揭示数学本质 发展数学思维

周毅

[摘 要] 学习数学更重要的是学习数学知识的本质和发展数学思维，所以提高课堂效率不仅要研究“怎样教”，更要关注“教什么”.

[关键词] 有效教学；数学本质

俗话说“吃什么比怎样吃更重要”，同样，有效教学不仅要关注“怎样教”，更要关注“教什么”. 前者关注教学形式，而后者关注教学内容，教学形式服务于教学内容. 从“教什么”的视角来看提升教师对数学学科本质的把握是提高数学课堂有效性的重要途径，有了对数学知识本质的深刻理解，才有课堂上教师对学生学习过程的关注，进而提高课堂效率，实现有效教学. 本文通过有理数的乘法和方程本质及混合运算中先乘除后加减的数学本质的理解解析，来阐述如何把握学科知识本质，实现有效教学.

案例一：对“有理数乘法”数学本质的理解

有理数的乘法是一种规定，是人为定义的，它的正确性不是源于逻辑证明，而是依赖于数学和谐和发展的需要.

在自然数集上，规定乘法是数自身连加的缩写，如3+3+3+3=3×4=12，且乘法满足交换律和分配律，有理数集合上的乘法是自然数集的推广，推广的工具是交换律和分配律.

乘法是加法的简便运算，对于“乘数是正数”的情况，即“正数乘正数”和“负数乘正数”很好理解；如4×3表示3个4相加；（-4）×3是3个-4加起来，所以结果是-12. 按照这个规定，第一个乘数表示连加的有理数，第二个乘数表示连加的个数，乘积表示连加的结果.

对于“乘数是负数”的情况，沿用“第一个乘数自身连加”是行不通的，这就必须从负数的本质入手——负数与正数表示相反意义的量，所以“第二个乘数为负数”时，就可以表示为“第一个乘数自身连减”，如4×（-4）表示4个4连减，即4×（-4）=-4-4-4-4=-16；（-4）×（-4）表示4个-4连减，即（-4）×（-4）= -（-4）-（-4）-（-4）-（-4）=16. 同乘数是正数的情况类似，第一个乘数表示连减的有理数，第二个乘数的相反数表示有理数的个数，乘积表示连减的结果. 易验证这种推广满足交换律和分配律.

总之，基于对“乘法是加法的简便运算”“第一个乘数表示连加的有理数，第二个乘数表示连加的个数，乘积表示连加的结果”“负数与正数表示相反意义的量”这些知识的本质理解，突破了“负负得正”这一教学难点，这更是把握知识本质的一种推广和应用. 故只有把握了知识本质，我们的教学才能返璞归真、言之有理，学生才能应用和有所创新.

案例二：对方程教学本质的理解

学习方程的价值在于会用方程解决问题，重点就是让学生掌握“建模”思想，学会“化归”方法. 其中，前者是列方程的重点，后者是解方程的重点. 在教科书中，对方程的定义是“含有未知数的等式”，这是一个形式定义，它的严谨性有很多值得商榷的问题（可以参见陈重穆《淡化形式 注重实质》一文），而笔者认为形式的定义关键是不能把握方程的本质.

方程是描述现实世界中等量关系的一种工具. 具体来说，方程就是描述现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知量. 这两个故事有一个共同点，在这个共同点上数量相等. 即对同一个量用两种方式来表达. 这是方程的本质，也是列方程的基本原则.

例1 在一个房间里，有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿加起来共60个，有几把椅子和几个凳子？

分析 方程的特点是用字母表示数，这个数就叫未知数. 如果用x表示椅子的数量，那么凳子的数量就是16-x. 根据同一个量用两种方式加以表示：总腿数可以用60表示，总腿数还可以用椅子的腿数加凳子的腿数表示，即 60=总腿数=椅子的腿数+凳子的腿数，抽象成方程：60=4x+3×（16-x）.

从这个列方程的过程中学生会更好地体会方程的本质，感悟到方程是如何描述现实世界中的等量关系的.

例2 某商店对某种照相机的售价做了调整，按原价的八折出售，此时的利润为14%，若此种照相机的进价为1200元，則该照相机的原售价是多少元？

分析 如果用x表示原售价，则根据同一个量（利润）用两种方式来表示可构造方程：利润可以由利润率乘进价表示，利润还可以用售价减进价表示，即利润率×进价=利润=售价-进价，可抽象成方程：0.8x-1200=14%×1200.

总之，基于以上对方程本质的探究可以看出，数学教学不能仅限于形式化的表达，还要强调对数学本质的理解. 只有如此，学生才能学得轻松高效. 更重要的是，掌握了知识本质，才能促成正迁移形成技能，也唯有如此，课堂教学才能真正实现从有效到高效.

著名教育学家张奠宙教授说：“一个数学教师专业成长的核心是对数学学科知识本质的把握.”

案例三：“混合运算中先乘除后加减”的数学本质的理解

在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先算括号中的算式；没有括号，先乘除后加减. 显然，一部分教师会说这两个基本法则是一种规定，可是为什么要这样规定？这样规定合理吗？那么，合理性表现在哪里呢？或者说这样规定的数学本质是什么？

例3 操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4排，问现在操场上有多少名同学.

分析 这个问题中包含了两个故事，一是原来的同学，二是后来的同学，所以同学数=原来的同学+后来的同学=3+2×4.

可以看出，先算乘法是为了完成一个故事：后来的同学数，因此可以看出所有的混合运算的本质是讲述两个或两个以上的故事，而乘法或除法是在完成其中的一个故事. 即先计算每一个具体的故事，然后再计算整体的故事，这就是混合运算的数学本质，用数学语言描述就是先乘除后加减.

近年来，实际教学中的教学本质常被两种活动所掩盖，一种是过度的形式化，把光彩照人的数学用“X光”照成了一副“骨架”，另一种是教条式的教学改革，只图表面热闹，缺乏效率，走过场.

实际上，数学教育的核心是体现“数学思维本质”和“数学知识本质”的教学，新课标下的高效课堂在各地如火如荼地进行，但不管如何变化，作为数学老师，应该坚持一个原则——注重数学本质的揭示，这是一切数学活动的根，是数学教学的立足根本.

总之，“揭示数学本质，发展数学思维”是数学教育的灵魂和教学的永恒主题.