夯实基础，培养归纳推理能力

陈浩

[摘 要] 归纳推理是初中数学教学中的重要内容，同时也是数学知识最重要的探索方法之一. 本文提出相应的教学建议：关注对新知识形成过程的分析；让学生在目标指向下实施有目的的猜想；让学生感悟归纳推理的基本过程.

[关键词] 初中数学；归纳推理；教学建议

归纳推理在初中数学中频繁出现，也有着非常丰富的案例，课程标准也提出了较为明确的要求. 但是，依然有很多学生无法对归纳推理的思维方法形成全面的理解，以至于他们在问题处理时，经常因为无法找到切入点而放弃. 为了帮助教师有效地展开归纳推理教学，进而促成学生对该项思维方法形成理解和认识，笔者提出以下几点教学建议.

关注对新知识形成过程的分析

在数学教学过程中，针对每一个新知识点，教师要引导学生对知识产生的真实情景、理论的演变过程进行深入理解. 为此，我们在教学中要指导学生深入理解归纳推理的基本原理，并对知识的生成过程进行研究，从而启发学生自主进行知识归纳，同时帮助学生积累归纳经验，为相应能力的形成打下基础.

有关归纳过程的基本步骤，波利亚在《数学与猜想——数学中的归纳与类比》一书中有着这样的表述：首先，学生要对某些相似性引起注意；然后是一个逐步推广的过程. 教师在教学过程中，要结合具体的案例进行讲解. 比如，在引导学生建立一元二次方程的概念时，教师会提供以下几个方程：①（8-2x）·（5-2x）=18；②x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2；③（x+6）2+72=102. 然后由学生通过比较来发现方程的关键属性，进而归纳出一元二次方程的概念. 实际操作中，教师应该先指导学生对三个方程的基本特点进行观察，让学生自主发现方程的相似性以及公共特征，然后由学生归纳这一类方程的特点. 最后，在教师的启发下，学生主动建构一元二次方程的基本概念. 如此，学生便全方位地经历了整个概念的形成过程，这不仅有助于学生对概念形成理解，同时也增强了学生对归纳推理方法的理解.

在这一过程中，教师要对归纳的正确性与开放性予以充分关注. 归纳的正确性是指只要是学生依据素材所得出的正确结论都应该得到教师的肯定. 比如上述例子中，學生围绕三个方程的特点能够归纳出的结论有很多：都属于等式；方程中的未知数都以x表示；都含有二次多项式……尽管这些结论都不属于一元二次方程的关键属性，但是它们都是正确的. 归纳的开放性是指教师要放慢节奏，不要急于求成直奔主题，而要提供学生自主思考和联想的空间，不能生硬地将学生的思维引向教师自己预设的方向. 比如抛硬币实验很可能出现实验所得数据与理论概率存在明显偏差的现象（比如硬币质地不均匀引起概率变化等），这种情况下，教师不能武断地判定学生错误，而应该顺势让学生进行深入研究，进而归纳更深层次的结论.

让学生在目标指向下实施有目的的猜想

敢于猜想是学生归纳推理能力发展的关键. 在数学知识的探索过程中，学生要能够从自己的感觉和直觉出发，结合个体经验展开大胆猜想. 当然，敢想还是一个浅层的思维活动，会想才是一种高阶思维品质. 教师指导学生遵循数学规律进行归纳，就需要帮助学生明确归纳推理的方向. 为此，教师要给予他们针对性的提示，帮助学生朝着自己“预想”的方向展开思考，让他们能够有意识地避开思维和探索上的误区. 此外，教师还要鼓励学生切换思维的方向和角度，进而获得对问题较为全面的认识.

如果教师仅仅只是让学生比较这些不等式的特点，那么可能有一部分学生会围绕不等式两边同时乘正数或负数来进行思考，进而归纳出不等式的基本性质；但也会有一部分学生会着眼于在不等式两边乘上整数或分数来进行思考，这就无法得到教师预想中的性质. 显然，在学生正式进行归纳推理之前，教师就要提供一个较为明确的思考方向.

因此，在学生完成填空题之后，教师可以通过以下问题进行引导：

（1）对于不等式2<3，如果同时在不等式的两边乘上或5，不等号的方向是否会发生变化？你能由此形成什么结论？请再列举一些例子，看看你的结论是否正确.

（2）对于不等式2<3，如果同时在不等式的两边乘上-，-5或-1，不等号的方向是否会发生变化？你能由此形成什么结论？请再列举一些例子，看看你的结论是否正确.

通过这样的引导，学生自然能够循着正确的方向展开探索，并形成有目的的猜想. 在这样的探讨过程中，师生双方更容易达成共识，也将更加顺利地形成结论. 当然，预想的目标不应该是一项硬性的规定，它应该是研究者对数学规律最基本的感受. 比如，在对概念和定义进行归纳时，必须是对本质属性进行归纳，学生在观察和分析中会得到很多属性认识，然后从中筛选出本质属性，进而形成定义. 比如，让学生对平行四边形的定义进行归纳时，他们在观察中会得到“对角线互相平分”“两组对边分别相等”等结论，但是这些最终都没有成为平行四边形的定义，因为定义必须能直观地反映出事物最为本质的属性，所以平行四边形的定义是“两组对边分别平行”. 通过这样的探索过程，学生既全面地了解了事物的特征，同时又把握了事物的本质. 换言之，学生在归纳推理中不仅收获了定义，还认识了许多性质定理.

必须强调的是，教师在教学过程中不能将自己的意识强加给学生，这自然就需要给予学生更多的探索和思考时间. 考虑到初中数学课时紧张、任务繁重的特点，教师可以将有关内容留作课前预习问题或课后思考题，这样，学生就能获得充足的思考时间. 总之，教师要善于调控和引导，先让学生能够“尽可能”地想象，再引导学生围绕结论的本质属性进行筛选，从而逐渐接近事物的本质.

让学生感悟归纳推理的基本过程

指导学生结合归纳经验来实施目标归纳属于一种感悟过程，部分教师在教学中将这种经验变成知识，要求学生记住相关步骤，这样的操作虽然在短期内有一定的可行性，但是能力的培养绝不是一种知识的堆砌. 归纳推理是直觉思维和逻辑思维相互交织的过程，具有一定的规律性，教师在教学中应该引导学生对其过程进行整体性理解，并结合具体实例对相关内容进行体会，这才有助于他们能力的培养.

笔者认为，学生首先要了解归纳、推理的基本流程，这样他们才能明确自己在操作中应该先做什么、再做什么. 基本流程可以分为以下几个步骤：（1）综合而细致地分析多个特例；（2）明确归纳的基本方向，探求特例的共性因素和规律；（3）通过猜想来探索共性因素和规律，并进行科学表述；（4）通过严谨的证明来证实猜想的正确性.

这些步骤在不一样的问题处理过程中都会有适当的调整，教师应要求学生运用时要避免过于机械. 例如，在对特例进行归纳时，特例的数量达到多少才合理？五个、十个，还是更多？这些都要学生结合具体的问题来确定，如果归纳结果出现较大偏差，就需要学生增添更多的例子，以实现猜想的修正.

综上所述，归纳推理作为初中数学教学中的重要内容，同时也是数学知识最重要的探索方法之一，教师要关注学生该项能力的培养. 在教学中，教师遵循归纳推理的实施步骤来设计教学过程，可以帮助学生拓展数学认知视野，激发他们的数学学习兴趣，改进他们学习数学的方法，提升他们的创新思维能力，这样，他们的归纳推理水平也将在这一过程中得到提高. 当然，教师在教学中也必须意识到学生已有的经验和知识是他们进行归纳推理的基础，所以，教师一方面要鼓励学生大胆猜想、积极归纳，激发他们最原始的归纳欲望；另一方面，教师也要提醒学生不断学习、勤于反思，这样才有助于他们增大知识储备，进而增强他们归纳推理的目标意识，减少过程的盲目性.