直觉难免出错推理确保正确

蔡新春

苏科版《数学》教材“12.2證明”指出，观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定正确.所以判断一个数学结论是否正确，有时仅仅依靠经验、直觉和估计，往往会得出与实际相反的结论，而只有通过有理有据的推理，才能得出正确的结论.下面举例进行说明.

例1 有两块同样形状的长方形耕地，长为am，宽为bm，现在两块耕地中修一条宽为1m的路.问剩余耕地的面积大小相等吗？试通过推理验证你的结论.

【分析】不少同学看了图之后认为甲中路的面积比乙中路的面积大，所以理所当然地认为甲中的耕地面积小于乙中的耕地面积.事实上这是错误的，我们可以通过计算推理出两图中剩余耕地的面积是一样的.

【解】用平移，把甲、乙中的路的右边部分向左平移1m，如上图所示，则两个图形就都变成长为（a-1）m，宽为bm的图形，其面积都为b（a-1）m2.所以这两图中剩下耕地的面积大小是相等的.

例2 爸爸给小明出了一道题：假如一根绳子刚好沿赤道把地球围起来，此时的绳子围成一个圆（将地球近似地看成球形），而且绳子和地球表面之间没有缝隙.如果把这根绳子再增加20米，依然沿赤道围成一个圆，此时绳子和地球表面之间就会有缝隙，那么这个缝隙最大是能够让一只苍蝇通过呢？还是让一头牛通过呢？小明听完问题，几乎不假思索地回答：当然只能让一只苍蝇通过喽！聪明的同学，你认为呢？

【分析】地球赤道的长度很大，仅增加20米，直觉告诉小明，绳子和地球表面之间的缝隙会很小，估计只能让一只苍蝇通过，因此小明会毫不犹豫地选择让苍蝇通过，而不可能使牛通过.事实上，牛也能通过.

【解】假设绳子的周长为C1米，半径为R1米，增加长度后周长为C2米，半径为R2米.

由题意，得C2=C1+20（米），于是R2-R1=[C22π]-[C12π]=[C2-C12π]=[C1+20-C12π]=[10π]≈3.18（米），就是说绳子增加20米长度后围成的新圆半径比开始时多了3米多，这么大的“缝隙”显然能让一头牛通过.

（作者单位：江苏省南通市北城中学）