寻找身边的不等式

西格

“排序”不等式

我们在公共场所做一件事情有时需要排队，目的是让大家做事情有秩序、节省时间、提高效率.一种公众的情绪是，每个人都反对有人插队，这里我们可以用一个“排序”不等式来解释这种现象.

先看一个简单的情形，有助于我们理解排序不等式的大意.

食堂里有一列同学在排队打汤，为了简单起见，我们考虑A、B、C3个人，他们分别要打4、5、6碗，每打一碗需要1分钟，一个人打时其他人在后面排队.则按ABC的顺序需要的时间总和是4+（4+5）+（4+5+6）=4×3+5×2+6×1=28分钟，如果按照CBA的顺序，需要的时间总和是6+（6+5）+（6+5+4）=6×3+5×2+4×1=32分钟，括号里的每一个加数是对应序号的人所用的时间.你可以算出来按照CAB的顺序需要的时间，再比较大小.

由上面的计算可以知道，如果某个人在队列中用时较多，则他在队列中的顺序越靠前，总体需要的时间就越多，这就是为什么我们不喜欢别人插队的原因.而且，尽量不允许捎带，如果需要捎带，那么可以请这个人往后站，这样可以减少全体需要的时间.

为了规范地表达其中的数学思想，我们引入下面的排序不等式对此进行阐述.

排序不等式：

设有a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn两列数，这两列数满足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则

a1b1+a2b2+…+anbn（同序乘积之和）

≥a1bj1+a2bj2+…+anbjn（乱序乘积之和）

≥a1bn+a2bn-1+…+anb1（反序乘積之和）

其中j1，j2，…，jn是1，2，…，n的一个排列，并且等号同时成立，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn成立.（证明略）

在排序不等式中，令（a1，a2，a3）=（4，5，6），（b1，b2，b3）=（1，2，3），则逆序和4×3+5×2+6×1<6×3+5×2+4×1（顺序和），这就是上面食堂里大家排队问题的结果.

“平均数”不等式

某人上山的速度大小为4，下山的速度大小为6，求全程的平均速度大小.

一种轻率的答案是[4+62]=5，但这显然没有依据.还有一种解法是，设s为山上到山下的距离，则平均速度为[2ss4+s6]=4.4<5.最后出现的不等式是否是一种偶然？也就是说，把某人上山和下山的速度大小改变一下，后者的算法结果还会小于前者的算法结果吗？答案是肯定的.

我们可以假设，某人上山的速度大小为v，下山的速度大小为u，上山和下山的路程均为1.

按照第一种算法，全程的平均速度为[u+v2]，我们称这个数是v和u的算术平均数.按照第二种算法，全程的平均速度为[v]=[1+11v+1u]=[2uvu+v]，我们称这个数是v和u的调和平均数.在这里，我们有[2uvu+v]≤[u+v2]，这个证明是容易的，也就是证明（u+v）2≥4uv，即（u-v）2≥0，这个式子显然成立.

那么，从这个例子中我们可以得到一个结论：两个数的调和平均数不超过它们的算术平均数.这个结论具有一般性，而且可以推广，用规范的数学语言表述如下：

一组正数a1，a2，…，an的调和平均数Hn=[n1a1+1a2+…+1an]，算术平均数An=[a1+a2+…+ann]，它们之间的关系是：An≥Hn.下面，我们再来看一个应用.

小王和小李俩人一块去买糖，小王每次都是买1千克，小李每次都是买1元钱的.不管买多少次，糖的价格是变化的，2人同时买了相同次数，你说说这两种方式买糖哪一个合算？

其实，我们只要比较2人历次的平均价格就行了.设2人各买了n次，每次的价格分别为a1，a2，…，an元/千克，则a1，a2，…，an不全相等.

小王每次买1千克，则平均价格为α=[a1+a2+…+ann]；

小李每次买1元钱的，则平均价格为β=[n1a1+1a2+…+1an].

易见α为a1，a2，…，an的算术平均数，β为a1，a2，…，an的调和平均数，由于a1，a2，…，an不全相等，故α>β.也就是说价格变化时小李买的糖比小王买的糖合算.

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）