初中教材中无理数概念的引入的对比分析

陈荣荣

[摘 要] 有理数的学习是数系的进一步扩充，随着数系的扩充，数的抽象程度越来越高，离生活实际也越来越远，学生对无理数的理解也存在一定的困难. 本文选取苏科版、人教版以及北师大版教材，分析比较无理数概念部分的编排.

[关键词] 无理数；初中教材；苏科版；人教版；北师大版

课程标准中对于无理数概念的要求：了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 本文通过比较苏科版、人教版和北师大版三种教材，从无理数的知识编排体系与无理数概念的引入两部分来探究教材对无理数概念编排的思路.

无理数知识的编排体系

考虑到初中教材中有关无理数知识的编排体系对无理数概念的引入有一定的影响，因此分析概念的引入前，先对无理数知识的编排体系进行比较. 下面通过表格对三种教材关于无理数知识的目录进行分析：

对比三个版本教材的目录，苏科版将无理数的概念与有理数安排在七年级上册，将平方根、立方根以及实数的运算安排在八年级上册，时间跨度比较大. 苏科版设计的思路：一方面小学数学已经介绍了负数的概念，七年级上册应在小学基础上有进一步的提升；另一方面为后续的教学提供方便，如在七年級下册介绍了在数轴上表示不等式解集，解集范围内数轴上的点对应的是实数，即无理数和有理数，因此苏科版在七年级上册介绍了无理数的概念.

人教版与北师大版相同，将无理数的概念与平方根、立方根以及实数的运算设置在同一章节. 不同的是，人教版将无理数的内容安排在七年级下册，且对无理数相关知识的编排顺序遵循了传统教材的做法，在学习有理数的基础上，先介绍平方根、立方根，认识一些不同于有理数的数，再在此基础上引入无理数.

对于人教版这种传统的处理方式，国家义务教育数学课程标准初中数学教材核心编写成员、南京师范大学顾继玲教授认为其存在缺点：一方面学生体会不到数的扩充的必要性，另一方面对无理数概念的意义理解不够，会产生一些误解，如认为“无理数就是带根号的数”等. 因此顾继玲教授对北师大版实数这一部分重新做了设计：无理数的概念——平方根、立方根——实数的运算. 这样的设计一方面考虑到无理数的历史发展过程，先有无理数的概念，再研究根号形式的无理数，另一方面考虑到学生的认知规律.

华东师范大学数学系的陈月兰教授基于Tirosh，D的概念框架及概念的认知理论，经过实证研究发现传统教材的处理确实容易让学生产生“带根号的数就是无理数”的误会. 故笔者认为苏科版和北师大版的安排较为合理些.

无理数的概念引入

教材对无理数概念引入的编排可以分为概念的引入情境、表述以及引出三个部分，本文就从这三个部分进行比较分析. 概念的引入情境指的是引入概念的情境，表述指的是教材中对于概念的描述，引出部分指的是给出概念后的部分，一般是对概念的举例说明.

1. 概念的引入情境

2. 概念的表述

概念的表述是教材对知识的直接呈现，通过对概念的表述比较可以发现三个版本教材的编排脉络. 三个版本教材对无理数概念的表述如下：

3. 概念的引出

概念的引出部分往往是对概念的举例说明，有利于学生对概念的理解，具有代表性、典型性. 三个版本教材中的概念引出如下表：

苏科版在引出部分除了举出圆周率π并给出它的值，还举例说了两个无限不循环小数是无理数，一正一负，隐含了无理数是有正负的. 人教版的引出则明确提出无理数是有正负的，并选择根号形式的无理数和π来说明，没提及任何无限不循环小数. 北师大版在引出部分除了提及圆周率π以及它的值，还举了一个无限不循环小数的例子，但是没有提到或隐含无理数是有正负的，与苏科版的引出部分相比，不够全面.

总结

从教材对无理数概念引入的处理来看，人教版遵循传统的处理方式，以平方根、立方根为基础引入无理数，导致之后概念的引入涉及大量根号形式的无理数，将平方根、立方根和无理数紧密地联系在一起. 根据华东师范大学的陈月兰教授《初中生对无理数的理解》的研究结果，人教版这样的编排容易让学生将带根号的数等价为无理数. 苏科版的编排不论是编排体系还是对有理数的判断都体现了数学学科知识的科学性、逻辑性、严谨性. 北师大版教材的编排不论在无理数知识的编排顺序部分还是无理数概念引入情境部分，都充分考虑到学生的认知规律. 三个版本教材对无理数概念的处理都符合课程标准对无理数的要求，苏科版和人教版都将无理数的概念放在“了解”的水平上，北师大版则达到了“理解”的水平.