例谈压轴题课堂教学的育人价值

胡素芬

[摘 要] 初三后期的复习课时间紧任务重，本文从分析2015年浦东新区一模卷第25题的部分课堂实录出发，浅谈如何进行一题多解和一题多变，从中探讨应用模型教学和题组教学，逐渐挖掘解题教学中的育人价值.

[关键词] 压轴题；教学；一题多解；一题多变

章建跃博士指出：解题的目标应聚焦于加深和理解双基. 学会思考，培养和发展思维能力；查缺补漏，培养良好的学习习惯，培养创造力等. 这些目标的实现，极大程度上依靠“好题”. “好题”能够反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，能够体现基础知识的联系性，解题的方法自然多样，具有发展性等等. 命制一道好题需要对数学本质具有深刻的理解，研究一道好题需要熟悉考点、清楚设计意图、开放解题思路. 同样的，一节优质的试卷讲评课，教师应该清楚出题意图，灵活解题思路，促进学生数学思维发展. 接下来笔者以2015年上海市浦东新区一模第25题为例谈谈如何挖掘压轴题中的数学元素，提升学生数学学习品质.

试题呈现

（2015年浦东新区一模25题）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M.

初步思考

此题围绕沪教版教材九年级第一学期重要教学内容并紧扣“相似”这一重要考点，能够较好地检测基础知识和基本技能的掌握情况. 第（1）题的难度期望值大概为0.6-0.8，接下来的第（2）题难度期望值约为0.4-0.5.

反思分析

这道题目是一道典型的以正方形为背景的动点问题，是中考压轴题的常见题型. 本题设计出不同层次的三个问题，既由浅入深、风格不同，又相互关联、前后呼应，属于“并列式”结构. 这道题目围绕着上海教育出版社九年级第一学期教材的“主干”和“核心”内容，紧扣相似三角形和四边形的相关考点，能够在检测基础知识的同时检测逻辑思维能力、计算能力和综合应用能力，具有一定的思维量. 第（1）问考查相似三角形的判定定理，第（2）问利用第（1）问的结论研究两条线段之间的函数解析式，第（3）问在分类讨论的基础上利用第（2）问的结论进行三角形面积的计算.

在第（1）问的基础上分析图形中边和角之间的关系，通过添加过点G的两条垂线构造矩形GQDH，利用矩形对边相等，从各种等量关系求出长度，或让用字母x来表示的线段聚集在直角三角形EQG中，通过勾股定理得到线段AE和EG的函数关系式.

那么有没有其他方法可以求解线段AE和EG的函数关系式呢？

一题多解

仔细审阅这题的题干部分“点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M. ”不难发现，整个图形的运动过程中，点E是主动点，而点G和点M是从动点，它们的位置是随着点E位置变化而变化的. 联想到第一种解法中是过从动点G添加垂线，那么是否可以过主动点E添加垂线呢？

再次审视这道题目的第（2）问，再次回顾解决此题的方法一，过点G添加线段AD和CD的垂线，构造一个矩形GQDH，那么能不能过点G添加BE的垂线呢？方法三随之产生了.

方法三：如图6，过点G作GK⊥BE，K为垂足.

和方法一、方法二相比，方法三的不同之处在于将目光从添加垂线构造直角三角形逐渐转向了分析三角形EGB的特征，通过相似三角形的判定，发现三角形EGB是一个等腰直角三角形，进而根据EG和EB的线段长度比值求出线段AE和EG的函数关系式.

课堂上教师引导学生反思前面三种解答过程，提出问题：在分析三角形EGB典型特征的过程中是否一定需要通过添加辅助线构造相似三角形呢？回答显然是否定的. 此时课堂上学生的思维活跃起来，学生的语言也丰富了.

追本溯源

不添辅助线的方法四无疑是这几种解法当中最简单的一种，为什么想到这种方法的同学不多呢？追本溯源这是一个典型的“蝶形问题”，或者说是“四点共圆”问题. 如图8，“已知∠BAO=∠CDO，问图中有几对相似三角形？”“已知AO·OC=OB·DO，问图中有几对相似三角形？”“已知AO·OB=OC·DO，问图中有几对相似三角形？”

在上海教育出版社出版的数学教材九年级第一学期25页例题1中出现的就是这样的一个“蝶形”相似，无独有偶，在同一本课本第8页的例题2，九年级第一学期的教参30页上归纳整理的几个基础图形中的最后一个也是以这个蝶形作为基础图形展开教学的.

类似这样一些简单问题，学生是否能够从复杂的图形中抽象出“蝶形问题”或者说是“四点共圆问题”就成为其能否顺利解决第（2）问的关键. 怎样才能使学生在复杂图形中轻而易举地看出对解题有帮助的基础图形呢？

解题启示

1. 重视“基本模型”构建能力的培养

罗增儒教授指出：如果能够辨别题目属于熟悉的类型，就用该类型相应的方法去解决（模型识别）；如果遇到不熟悉和费解的习题，不能直接转化为熟悉的类型，那我们可以“分解”， 既使得每个小问题都是熟悉的，又可以揭示问题的深层结构，使问题的实质是熟悉的，同时还可以不间断地改变习题，最终化归为已经解决的问题. 各地历年中考题中都有“基础图形”的痕迹，其重要程度可见一斑.

初三毕业班的数学教师对这一教学内容相当重视，每一位有经验的数学教师凭借着自己的理解和概括都能总结和提炼出一个又一个的模型，上课时教师讲授得头头是道，学生听得津津有味，可是当学生独立面对综合题的时候往往显得束手无策. 这种对于基础图形“识而不会”的情况为何屡屡发生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏构建的数学能力. 大多数综合题中的基础图形都是“潜伏”在大段叙述性的文字或者复杂的图形中的，需要適当添加辅助线构建基础图形才能逐渐清晰明朗.

要培养构建能力就要求教师在日常教学中引导学生仔细观察基础图形，正确理解基础图形的关键特征，清楚基础图形的核心要素，鼓励学生大胆尝试补充添加辅助线以达到补齐基础图形所需要的全部核心要素的目的. 行之有效的方法之一就是将简单的基础模型进行各种变式，逐渐将图形复杂化，将小问题深化；行之有效的方法之二就是在各个综合题中抽取出简单的基础模型，双向思维训练，不断培养数学思维的逻辑性和严密性. ？例如图8，对于这个蝶形的基础图形进行分析时还可以补充练习，以期达到夯实“基础模型”的教学效果.

这一系列补充练习完成之后再引导学生反思回顾，就能自然地将上述两种教学方法比较完整地体现，这类“蝶形”基础图形就能够牢牢地扎根于学生的脑海之中.

2. 初三复习课的教学提倡“题组设计”

由于初三数学课“时间紧任务重”的特点，教师善于将典型问题作为源问题，将典型例题中的核心知识点在不同问题情境中呈现出来. 通过内在的一条线（也就是基础图形），把它们集中成一个问题串，引导学生对解题思路、解题策略进行归纳总结，使学生形成一个有机认知体系，从而起到举一反三、触类旁通的效果. 教师要善于引导学生自主探究，在反思问题的解题方法以及解题思路是否具有规律性的同时，再思考是否可以将这些思路和方法迁移到类似的问题中去；其次在反思图形的结构和位置发生改变的同时，弱化或加强命题的条件，结论能否拓展、引申、推广. 平时加强对学生一题多变的题组训练，可以深化他们自觉地对问题进行理解，优化学生的思维过程，完善他们的认知结构，从而提高他们自主探究这一类问题的能力，分析解决这类问题的能力也在不同程度上得到了提高.

例如这道2015年浦东一模考试的压轴题建议跟2016年淄博的24题放在一起编成“互逆式”题组进行课堂设计和讲解：

如图11，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变.

（2）求证：AF⊥FM；

（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明.

另外，对于2015年上海市浦东新区一模第25题的第（2）问：设AE=x，EG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域，如果课堂上时间充裕，教师还可以在“设AE=x”这一条件不变的基础上，将函数进行变化，让DE=y，BE=y，AF=y，FB=y，EF=y，FG=y，BG=y，CG=y甚至于MG=y，要求学生求出y关于x的函数解析式. 利用这样的题组教学可以进一步发展学生“用字母表示数”的基本能力，进一步拓展“平行线分线段成比例”定理的应用，进一步形成“锁链式”变式题组，逐渐丰满复习课的层次和内容.

3. 提高数学复习课的立意与品味

中考复习的目的不仅仅是简单地再现数学知识和熟练各种应用，更重要的是在于帮助学生深化对数学知识内在联系的认识. 由于这些“联系”大部分都是隐性的，仅仅依靠学生自己复习很难发现，有时候即使发现一些规律性的东西也只是一闪而过，很难自行总结归纳. 这就要求初三数学教师在设计复习课的时候立意要高，不能够就题讲题，以题论题，而应该让学生清楚地“知其然”，主动地“知其所以然”，积极探索“何以知其所以然”. 日常教学中，数学课堂上充满了数学知识点和数学题目，但所有的数学教学行为不能够游离于数学思想方法之外，一旦游离，数学知识就會失去其真正的落脚点，数学题目的讲解便会降低有效性和迁移效果. 每道数学题目犹如语文中的一篇范文，自身的主题或中心思想的挖掘需要对试题有足够的理解和把握，这个理解和把握的过程往往借助数学思想方法来完成. 本文选取的这道压轴题的前两问无不体现数形结合的数学思想，尤其是对第（2）问几种解法的不断探索过程中，突出了“以形助数”的效果；第（3）问的解答过程中也离不开分类讨论和方程思想的具体实现. 不断提醒、总结和归纳，不仅能够夯实学生的数学基础，提升学生的数学思维品质，而且能够使教师自身在繁忙复杂的日常教学工作中享受到创作感和设计感带来的愉悦心情.

回顾分析研究第（2）问的过程，从一开始相对机械地添加垂线利用勾股定理解出函数解析式，到再思、三思而得出四种不同的解法，我们不难发现其实方法四是利用“蝶形”或“四点共圆”的基础图形来探求两条线段的函数关系式，这种方法既是回答第（2）问的简便方法，又是解决问题的通法.

学生解题后不反思，就不能及时优化解题过程，无法锻炼数学思维；教师讲题后不反思，就无法提高理解水平，无法提高研究水准. 其实在每节数学课中，在每道题目的证明和解答中，学生收获最大的并不是得到正确答案，也不是具备解决这类问题的能力，而是真实感受到数学研究的过程，领悟数学思想和方法，享受多种解法相互碰撞产生的思维火花，感悟各种方法之间的区别和联系，从而对今后的学习和生活带来深远的影响.

数学学科育人的核心价值主要体现在数学的理性精神以及蕴含其中的数学思想方法，所以需要教师引导学生从“就题论题”逐渐上升为“以题论法”的境界，最终达到“以题论道”的目的. 数学学科育人的过程就是在课堂上师生共同“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的过程. 在研究数学的过程中不断思考“通法”和“巧法”，逐步养成理性思考、严谨求证的问题分析和解决问题的习惯，这不仅能够指导学生将来面对形形色色、种类繁多的学习问题，有助于学生形成优化而高效的学习方法，而且能够引导学生进行理性思考，将现在的学法逐渐转化为将来的生活态度和生活形式！