极值点偏移问题

杜柯

什么叫作极值点偏移呢？例如函数f（x）在x=x0处取得极值，且函数y=f（x）与直线y=b交于A（x1，b），B（x2，b）两点，则AB的中点为M（，b），那么极值点x0与x1，x2存在什么关系呢？有时候x0=，如开口向上的抛物线。而大多数情况下由于极值点两边增减的速度不一样，往往x0≠。

此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？现在我们就通过几个典型例题来逐一探索一下！

一、不含参数的问题

例1 （2010天津理）已知函数f（x）=xe-x（x∈R），如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2>2。

解析： f′（x）=（1-x）e-x，易得f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，x→-∞时，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞时，f（x）→0，函數f（x）在x=1处取得极大值f（1），且f（1）=，如图所示。

由f（x1）=f（x2），x1≠x2，不妨设x12，即证：x2>2-x1，因为x1<1可得：2-x1>1，所以x2，2-x1∈（1，+∞）；又f（x）在（1，+∞）递减，故而只需证明f（x2）F（x），即f（x）-f（2-x）<0，x∈（0，1），所以f（x1）2。

二、含参数的问题

1.变量分离后再构造函数

例2 已知函数f（x）=x-aex有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2>2。

解析：函数f（x）的两个零点等价于方程xe-x=a的两个实根，令g（x）=xe-x，依题意：g（x1）=g（x2）=a，从而这一问题与例1完全等价。按照例1的思路，可得x1+x2>2。

2.不分离变量直接构造函数

例3 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a>0）有两个零点。设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2。

解：f′（x）=（x-1）（ex+2a），由a>0可得f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。设x1<1f（2-x2），

由于f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0？圯-（x2-2）ex2=a（x2-1）2，所以f（2-x2）=-x2e2-x2+a（1-x2）2=-x2e2-x2-（x2-2）ex2。

下面构造函数g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，x≥1。

g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）。所以当x>1时g′（x）<0？圯g（x）在（1，+∞）递减。所以g（x）

（作者单位：湖北省天门中学）