Gompertz模型在可靠性评估与验证中的应用

李进++王峰+李宇鹏+齐昊桢++庄凌

摘 要：针对高价值产品的工程试验现状，讨论利用Gompertz模型拟合其可靠性增长的过程，并利用最小二乘回归和Fiducial方法，给出Gompertz模型结果的仿真近似下限值，为利用Gompertz模型进行可靠性评估和验证提供相应的方法。

关键词：可靠性评估 Gompertz模型 区间估计

中图分类号：TB114.3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）06（b）-0007-02

Gompertz模型是一种可靠性增长模型，适用于取得等间隔（时间、次数）的硬件或软件的可靠性增长数据，其增长有先快后慢和先慢后快之后再慢这两种情况。对于高价值产品，在进行研制的过程中，每次试验的数量有限，并且每次试验后，会根据该次试验的结果，对产品进行改进后，再进行试验。这种研制过程是比较适用Gompertz模型对其的可靠性水平进行分析评估的。同时，GJB 1407中明确表明：“一项成功的增长试验可以免去可靠性鉴定试验”，所以通过拟合Gompertz模型也可以有效地利用研制试验数据减少或免去可靠性鉴定试验。

但是，目前产品的可靠性要求基本上均是要求的某一置信度下的可靠度下限，而Gompertz模型经典的估计方法只给出了相应的点估计，文献[1]中虽然利用Beyes方法给出可靠度下限的计算方法，但是计算相对复杂。所以该文通过探讨Gompertz模型的可靠度下限求解方法，给出利用Gompertz模型的可靠性评估和验证方法。

1 Gompertz模型及其点估计方法

1.1 Gompertz模型

Gompertz模型为：

≤≥0 （1）

其中：为t时的可靠性；，，为增长后上限值；t=0，，为起始值；b为“起始值与上限值”之比；t为试验周期序号（对应于时间）；c为增长速率。

1.2 模型求解

Gompertz模型最为经典的求解方法为Virene算法，该算法是由E.P.Virene提出，是目前求解Gompertz模型的主要算法。但是，为了后续的求取区间估计，所以该文介绍的为最小二乘估计方法。

设产品总的批次（或试验次数）为个，当产品不断地对出现的故障和问题进行改进时，就有，用Gompertz模型拟合该过程，设，t=2，…，m。最小二乘方法即是将公式（1）转化成线性的模型，然后利用最小二乘进行求解，转化成线性的模型为：

（2）

设，，，，则公式（2）可写为：

（3）

2 Gompertz模型的下限估计

2.1 下限估计的求解方法

对于区间估计，我们一般只关心，预计的可靠度下限，也就是说我们要求取的是外推一个（或几个）周期后的可靠度下限。所以，这里仅讨论外推一个周期后的可靠度下限。

由最小二乘的理论，可知对于自变量时，

其中，

；；；；；；；。

由的分布可推导出的分布，设其分布函数为。

已知，认为为随机变量，设其分布函数为，则的分布函数可由和得出。

2.2 下限估计的近似解

对已知，将和均看作为随机变量，这里仅讨论利用仿真方法给出相应的的估计。

由Fiducial理论可知

其中，；；S为试验成功数；s为试验失败数。

设的分布函数为，则有得到下限估计的仿真算法如下：

取模拟次数Z，Z为偶数；

取（0，1）均匀分布的Z个随机数，记为；

计算，

计算

对由小到大排序得到

则的置信度为α的下限为，[]为取整函数。

3 利用模型的验证的讨论

由上述的Gompertz模型的下限估计方法可以有效地得到产品在试验结束后的可靠性水平，由于利用之前的数据拟合了增长模型，所以，可以得到较为真实的可靠性评估结果。

对于可靠性验证而言，如果利用现有试验数据评估出的结果可以达到其可靠性指标的要求，即可以认为其满足指标的要求，可以不必再进行可靠性鉴定试验。如果利用现有数据评估的结果尚未达到可靠性指标要求，则可以利用Gompertz模型预测出相应还需要多少的子样的试验才能满足可靠性指标的要求。但在实际运用过程中，还需要将后续进行的试验对Gompertz模型进行不断的修正，从而不断地调整所需要的可以达到可靠性指标要求的剩余子样数，这样才能有效地利用数据，是一种序贯式的试验方法。

4 数值例

蓝侦探（Blue Scout）火箭在15次发射中有10次成功，其试验记录如表1所示。

这里将首次连续成功前一次作为模型拟合的起点，即第6次试验，即表中的i列，所以这里m=10。拟合公式（2），有a=-0.319 07，h=-0.984 59。则用Gompertz模型预测该火箭在第16次发射时的可靠度点估计为：0.680 9，同时利用仿真可得可靠度80%的下限为0.599 4。

5 结语

该文给出了Gompertz模型的置信下限估计方法，使得利用Gompertz模型进行评估和验证成为可能。但是，该文所给出的方法为近似的仿真方法，在实际应用仍会遇到不可信或计算相对复杂的问题，所以后续还需要再讨论相应的较为简便的近似方法，方便工程中的应用。

（致谢：该文的研究工作受到了北京航天长征飞行器研究所徐福荣老师的悉心指导，谨致谢意。）

参考文献

[1] 王飞，黄忠华，张万君，等.Gompertz模型在引信研制与试验中的应用[J].探测与控制学报，2004，26（2）：55-58.

[2] 刘琦，冯静，周经伦.基于Gompertz模型的液体火箭发动机可靠性增长分析[J].航空动力学报，2004，19（3）：419-423.

[3] 朱珉仁.Gompertz模型和Logistic模型的拟合[J].數学的实践与认识，2002，32（5）：705-709.

[4] 李学京，杨军.基于可靠性增长试验信息的可靠性综合验证方法[J].宇航学报，2008，29（3）：1074-1079.

[5] 梅文华.可靠性增长试验[M].北京：国防工业出版社，2003.