从大学生创新能力的培养论微分学概念的教学

李兆丰　张渊渊

【摘 要】微分学是高等数学中的一个重要的组成部分，通过对其中两个主要概念导数和微分的教学方法的阐述，使学生更深入地体会到数学概念的内涵，从而更好地用于解决实际问题，达到创新能力培养的目的。

【关键词】创新能力；微分学概念；数学思维的迁徙

0 引言

高等数学是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学和人文科学之间的地位，是它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶[1]。这种教学模式导致的直接后果是使得学生的学习积极性不高，或者是学生只是记住了微积分中的一些概念及运算法则，对微积分的应用及内涵理解不够。很多同学感觉上课听懂了，但就是不会做题，或者不会把所学的微积分知识与专业知识相结合，这都是没深入理解概念的原因，这样不利于学生形成良好的学习习惯和创新能力的培养。本文从微积分中两个重要的概念：可导与可微之间的关系为例来阐述在教学过程中如何从提出问题引导学生自主探索到解决问题，领悟数学思想及方法从而有助于创新能力的提高。

1 一元函数的微分学概念

1.1 导数的概念的教学

导数是一元函数微分学中的一个重要的概念，它的定义又是一种比较抽象的方式，学生理解得不够深入，也就导致不能很好地应用这一概念去解决其他相关的问题。这里的教学难点在于学生刚刚进入高等数学的学习，而初等数学中往往是“静态”的，没有极限中“无限趋近”的直观理解，例如在讲解导数这节中，大部分教材都是以物理学中的“瞬时速度”为例，学生能很快算出一段时间内的“平均速度”，而不能接受某点的“瞬时速度”这一概念，这时教师要循序渐进地引导学生自主探索，体验从提出问题到分析解决问题的全过程，领悟数学思想及方法。首先让学生算出某段时间Δt内的平均速度Δv=■，当Δt非常小时，Δv≈■，但无论Δt如何小，Δv都只能是某一时刻的瞬时速度的近似值，只有在Δt→0时，的极限值存在时，我们才认为极限值是这一时刻的瞬时速度。在学生理解了瞬时速度的算法后抽象出来数学中的导数这一概念，即让学生理解导数是函数在某一点的瞬时变化率，学生弄清楚导数这一概念的来历之后教师可以适当地加入其它的例子来加深这一概念的理解，更深入地感受导数这一概念的实质，例如直线运动中物理的加速度是速度的变化量与时间变化量之比的极限，经济学中的边际成本、边际收入及边际利润等是经济变量对自变量变化量之比的极限，利用导数研究经济变量的变化是经济理论中重要的分析方法[2]。通过多不同学科的例子，使学生体会到凡是涉及到函数变化率的问题都可以用导数的思想来解决，加深对导数这一概念的理解，让学生意识到其来自于具体的实际问题，反过来也用来解决实际问题。这样学生在以后的学习中就会融会贯通，达到创造型思维的培养。

1.2 导数与微分之间的联系

微分是高等数学中的另一个重要的概念之一，它与导数有着紧密的联系，但又是与导数有着不同的涵义。现在的教材[4]绝大多数都是从一个正方形金属薄片在受热其边长变化Δx时计算其表面积的变化量，然后推广到一般的函数，即函数的增量Δy=f（x+Δx）-f（x）如果能表示为Δy=AΔx+o（Δx），其中A为不依赖与Δx的常数，o（Δx）是高阶无穷小。这样的过度显得有些突兀，不够顺畅，学生往往此时感到很疑惑。这其中的一个原因是例证不足，分析不够充分，教师此时应多联系实际，举日常生活中常见实例，使学生有感性的认识，这样学生就容易把所学知识运用于实际，达到数学思维的迁徙，也有助于创新能力的培养。例如可以把正方形薄片换成扇形和球形等，让学生自己去计算系数A，从而去体会的确切涵义，恰恰是函数在某点的导数。再例如在汽车行驶中的速码表，汽车在一分钟内向前行驶的距离，就是微分在现实生活中的一个例子，而速度正好是汽车在这一时刻的导数。学生在自己计算出A即是导数后，就会自然想到这是否是个巧合？这时再从数学角度给出导数和微分的定义，学生就往往比较容易接受，实现了概念的同化，同化一詞的基本含义是接纳、吸收和融化为自身的一部分，实现概念同化依赖于两个条件：一是学习者原有的认知结构中必须具有相关的概念和规则，即同化点；二是给学习者呈现的新概念的表述必须是清楚的。教师在教学过程中应注意多启发学生自主思考，以达到用创新思维解决不同问题的目的。

2 结束语

现代教学越来越重视大学生创新能力的培养，如前文所述，高等数学教师在教学过程中，应适当地摒弃繁杂的数学定理的推导与证明，多注重理论联系实际，使学生自主学习、自主思考，促使数学思维向不同学术领域的迁徙，有助于创新能力的提高。

【参考文献】

[1]卡尔·B·波耶.微积分概念发展史，复旦大学出版社，2007年.

[2]顾静相.经济数学基础[M].北京：北京高等教育出版社，2009.

[3]曾玖红.从认知心理学角度论微分概念的教学，数学教育学报，第21卷第四期，2012.8.

[4]同济大学数学系，高等数学[M].北京：北京高等教育出版社.

[5]梁宁建.当代认知心理学[M].上海：上海教育出版社，2003.

[责任编辑：朱丽娜]