偏振双向衰减对光学成像系统像质影响的矢量平面波谱理论分析∗
2017-08-12张敏睿贺正权汪韬田进寿
张敏睿 贺正权 汪韬 田进寿
1)(中国科学院西安光学精密机械研究所,西安710119)2)(中国科学院大学,北京100049)
偏振双向衰减对光学成像系统像质影响的矢量平面波谱理论分析∗
张敏睿1)2)†贺正权1)汪韬1)田进寿1)
1)(中国科学院西安光学精密机械研究所,西安710119)2)(中国科学院大学,北京100049)
(2016年10月12日收到;2017年1月18日收到修改稿)
偏振双向衰减(diattenuation)是指偏振元件引入的光场传播过程中表征电矢量的两个正交偏振态的振幅变化特性.在大部分有关偏振像差的讨论中,聚焦光场偏振态的振幅变化对其分布的影响较小而不被重视.但在一些大相对孔径光学系统中,对于分束器、光调制器等有复杂平面介质结构的低透过率光学元件而言,引入的偏振相关的振幅调制相对大得多.本文依据矢量平面波谱理论,建立了笛卡尔坐标系下的理想光学成像系统的矢量光学模型,验证了与德拜矢量衍射积分的一致性.在线偏振光入射的条件下,对在汇聚光路中使用的光学元件的偏振双向衰减特性对成像质量的影响进行理论研究.结果表明,在调制传递函数的低频率处(v<0.2N A/λ),这种影响是可以忽略的;随着空间频率的增加,光学元件的偏振双向衰减特性对成像系统调制传递函数的影响逐渐变大.若要求调制传递函数的数值不低于衍射极限的90%,中频处(0.2N A/λ
矢量光学,偏振像差,调制传递函数
1 引言
理想光学成像系统的焦平面光场分布由标量衍射理论决定,对于波前像差和切趾函数的描述和优化是目前光学成像系统设计的主要工作之一,像质评价的方式主要是瑞利判断、斯托列尔准则、调制传递函数等[1].但是,随着大数值孔径光刻、显微技术等新兴学科的发展,光学系统数值孔径的增大和矢量光束的入射导致出瞳处的电场分布不再近似为单一方向,需要用完整的矢量形式才能准确描述[2−5];其次,考虑到聚焦光场的矢量特性,原来标量像差理论也并不能严格描述矢量传输过程中各分量变化对聚焦光场的影响.这种由光学元件偏振特性导致的聚焦特性变化一般称之为偏振像差[6,7].由于平面波在光学分界面处的连续条件随角度变化趋势不一致,在诸如大数值孔径光刻系统中,边缘光线的入射角往往较大,偏振像差的存在对其聚焦和成像特性有非常大的影响.
目前,偏振像差的研究主要致力于大数值孔径光刻系统透镜组和膜系的优化设计,为了准确描述琼斯光瞳各分量振幅和相位的相互关系,所需的正交基函数和系数一般数倍于标量波像差的形式[8−11].但是,聚焦光场的振幅变化往往不具备诸如离焦、像散、慧差等用于描述波前扭曲的典型物理意义,且在光刻成像中图形位置偏移和最佳焦面偏移等误差主要受偏振态的相位延迟(retardance)的影响[10,11].因此,针对偏振像差中振幅相关的光学元件双向衰减特性对成像系统影响的研究工作相对较少.李旸晖等[12]计算了Debye矢量模型下特定光学增透膜所引入偏振像差对大数值孔径光学系统聚焦特性的影响,认为增透膜所引入的s光和p光相位项差异比振幅项差异对聚焦光斑中心能量的影响稍大,但此时光学系统聚焦光斑的半高全宽变化仅1%左右.
对于高透过率光学元件而言,光场电矢量在传播过程中振幅衰减的数值较小,而双向衰减特性对成像系统像质的影响一般也可以忽略.但是,在诸如有分光结构的大相对孔径分幅成像等光学系统中,分束器等低透过率光学元件均会引入相对较大的偏振相关的振幅调制.尤其,近年来为克服电真空器件体积功耗噪声大、量子效率低的缺点,一系列用于激光雷达、空间光通信、高速成像的全固态光调制器被研制[13−15].这些器件普遍具备多达百层以上平面介质结构、电极化相关的吸收特性[16]且耦合于大相对孔径光学天线出瞳与焦平面之间对回波光信号进行直接调制.在严格观测目标光学时间变化特性的需求下,要求整个光调制范围内像质不能有显著变化,如在激光雷达应用中则需进行正弦调制[14].
Debye矢量衍射积分将光学系统的聚焦场解近似为汇聚球面波波面上的平面波包的传输叠加,但积分中并不涉及精确的平面电磁场分布.因此,难以直接引入复杂的平面光学掩膜结构;且在远离焦面处有复杂的相位因子项,逐点求解时计算量非常大.郭汉明等[17]推导了笛卡尔坐标系下的任意平面电磁场在传输过程可以精确分解为沿某一特定方向分解的TE和TM矢量平面波谱且波谱中各分量相对独立.这种方法较Debye模型更有利于在矢量光学建模中引入偏振相关的平面介质和掩膜结构,且可以采用快速傅里叶算法提高计算速度.本文依据矢量平面波谱(vector plane wave spectrum,VPWS)理论[17,18],建立了笛卡尔坐标系下理想光学系统的矢量模型,验证了VPWS模型与Debye矢量衍射积分的一致性;研究了平面光学元件的s光和p光反射/透过系数的变化对光学系统汇聚光场和调制传递函数(modulation transfer function,MTF)的影响,并给出了有关容差范围,为相关偏振光学元件和光学系统的优化设计提供参考.
2 基本原理
2.1 数学模型
光学系统为无像差的理想系统如图1所示,位于无穷远处的物点在光学系统入瞳平面Σ0处输入一束均匀分布的平面波,设电场矢量Ei=[cosθi,sinθi,0]T,则光学系统出瞳平面Σ2的电场分布E(x,y,0)可以表示为
其中,(x,y,z)为原点在光学系统出瞳平面Σ2中心的笛卡尔坐标系,光轴为沿z轴方向;∆ϕ(x,y),T(x,y)分别为光学系统的相位变换因子[21]和电场分量的折变关系[2].由物像空间的正弦关系,Debye矢量衍射积分在出瞳球面波面Σ1上引入振幅分布显然,当θ→0◦时,AΣ1→1;且θ→90◦时,Σ2:d S2≫Σ1:d S1,设出瞳平面Σ2上的振幅分布函数AΣ2的表达式为
图1 (网刊彩色)基于VPW S的成像系统矢量光学模型示意图Fig.1.(color on line)ScheMe of vector op ticalModel of iMaging systeMbased on VPW S.
取n=[nx,ny,nz]T表示光学分界面的法向,则平面波波矢k=[kx,ky,kz]T,其电场Ek可以表示为
其中,nTE,nTM和kn=[knx,kny,knz]T分别为TE(s)分量(电场方向垂直于由n和k决定的平面)、TM(p)分量(磁场方向垂直于由n和k决定的平面)和k的单位矢量;为各分量对应的系数.
则距离z处的电场分布E′(x,y,z)可以表示为
当θi=0◦(入射光电场方向Ei沿x轴)时,考虑沿光轴传播的光线正入射光学分界面的情况,即n=[0,0,1]T为VPWS分解的参考方向.此时TE·[nTE]T和TM·[nTM]T的解析表达式与文献[17,18]一致,本文不再赘述.令αTE=αTM=1,不同数值孔径理想光学系统的MTF如图2所示.当n=1.65时,(6)式—(8)式与Debye矢量衍射积分[2,4]的结论是严格一致的.
图3(a)所示光学元件的反射率曲线为一种量子限制斯塔克效应(quantuMconfined stark effect,QCSE)电吸收光调制器[22,23],这类器件目前主要应用于小型激光雷达和反射调制(modulating retroreflector,MRR)自由空间激光通信系统,可以为光学天线所接收的信号光提供纳秒级的调制速度.随着量子阱区域的电场强度增加(I约为0 V/µm和II约为8 V/µm),s,p光的平均反射率由90%下降至10%;但是,两个正交偏振态的反射率差异也随之变大.当入射角为30◦和45◦时,s光与p光反射率之比分别为1.93:1和4.64:1(12.9%:6.7%和11.46%:2.47%).
图2 (网刊彩色)不同数值孔径光学系统的MTF曲线(Debye模型和VPW S模型)(a)NA=0.2;(b)NA=0.7;(c)N A=0.9Fig.2.(color on line)MTF curves(Debye Model and VPW S Model):(a)N A=0.2;(b)NA=0.7;(c)N A=0.9.
图3 (网刊彩色)(a)不同电压偏置下光调制器反射率随入射角变化曲线(I约为0 V/µm,II约为8 V/µm),量子阱(100Å/80ÅGaAs/A l0.32GaAs)折射率和消光系数的计算参考文献[19,20],反射率曲线由TFCalc软件计算;(b)MTF曲线(θi=0◦);(c)MTF曲线(θi=90◦)Fig.3.(color on line)(a)Refl ectance of EAMw ith d iff erent bias(I∼0 V/µm,II∼8 V/µm).The calcu lation of refractive index and ex tinction coeffi cient of quantuMwell(100Å/80Å,GaAs/A l0.32GaAs)refers to literatu re[19,20]and the refl ectance cu rves are derived by TFCalc;(b)MTF curves(θi=0◦);(c)MTF curves(θi=90◦).
考虑沿光轴传播的光线斜入射光学分界面的情形,n=[0,sinθn,cosθn]T,θn为光学分界面法向n和光轴ˆz的倾角.根据(6)式—(8)式并引入图3(a)所示s光和p光反射率曲线,取θn=30◦,数值孔径NA为0.5光学系统的调制传递函数如图3(b)和图3(c)所示.当平均反射率约为90%时,两个正交偏振态之间存在微小的反射率差异对像质是没有显著影响的;然而随着量子阱区域电场强度增加,光调制器平均反射率下降的同时,MTF数值产生了较大变化:在低频处(vy=0.3N A/λ),如图3(b),MTF下降了15%(由0.77下降至0.66);在高频处(vy=1.2NA/λ),如图3(c),MTF下降幅度达到45%(由0.22下降至0.13).显然,偏振光学元件的双向衰减特性会对光学系统的成像质量产生显著影响.
2.2 偏振双向衰减对成像系统像质的影响
为简化推导和排除各分量切趾函数扰动对结论的影响,在以下讨论中αTE(k)和αTM(k)均取为常数.令即引入平面介质结构的s光和p光反射/透过率之比.虽然,Dα并非一般所指的双向衰减比(diattenuation)D[6,7],但Dα在以下有关光学系统像质的理论表述中相对更为直观,两者之间的关系可以被表示为|D|=|1−Dα|/|1+Dα|.
因此,光学传递函数(optical transfer function,OTF)可以表示为
OTFTE和OTFTM为和的光学传递函数,M为OTFTE和OTFTM的相关因子项.
根据(10)式—(12)式,MTF受Dα影响的程度主要由OTFTE−OTFTM和M在该频段的权重以及βTE,βM的取值决定.当NA=0.174,θn=5◦时,沿x(Ei方向),y方向的MTF,OTFTM,βTE(OTFTE−OTFTM),βMM曲线,如图4所示.中频处v∈[0.2NA/λ,1.2NA/λ],βMM≫βTE(OTFTE−OTFTM);高频处v∈[1.4N A/λ,2NA/λ],βMM的数值小于βTE(OTFTE−OTFTM)或与之相当.
根据标量光学理论,像点中心点亮度比(strehl ratio)与MTF曲线所围总面积成正比[11].但在矢量光学中,这一点并不总是成立的.显然,(9)式主要依赖αTE和αTM各自的取值,而(10)式则依赖两者的比值.因此,本文主要以MTF曲线的归一化面积MTF评价光学系统成像质量.
图4 (网刊彩色)MTF和(10)式中各项的曲线Fig.4.(color on line)Curves of MTF and terMs in forMu la(10).
图5 (网刊彩色)不同Dα取值下的MTF曲线Fig.5.(color on line)Curves of MTF w ith d iff erent Dα.
当N A=0.174/0.5,θn=5◦/15◦时,由(10)式和(13)式得到的MTF随Dα变化曲线,如图6所示.这表明θn/sin−1NA近似的情况下(θn/sin−1NA≈0.5),光学元件的偏振双向衰减特性参数Dα的变化对像质影响的趋势也近似一致;忽略(10)式中的相位项,并不显著影响(13)式对于MTF讨论的精度.若要求阈值根据(14)式和参数(如表1所列)可得,x方向上y方向上即当0.146 表1 图4中MTF的有关参数(D E≈1.3)Tab le 1.Relevant paraMeters of¯S MTF in Figu re 4(D E≈1.3). 表1 图4中MTF的有关参数(D E≈1.3)Tab le 1.Relevant paraMeters of¯S MTF in Figu re 4(D E≈1.3). ¯S TM¯S M¯S TE-TMx 0.634 0.356 0.02 y 0.571 0.304 0.213 图6 (网刊彩色)MTF随Dα变化曲线.x1:x方向(N A=0.174,θn=5◦);y1:y方向(N A=0.174,θn=5◦);x2:x方向(N A=0.5,θn=15◦);y2:y方向(N A=0.5,θn=15◦)Fig.6.(color on line)Curves ofMTF changed w ith Dα.x1:x-section(NA=0.174,θn=5◦);y1:y-section(N A=0.174,θn=5◦);x2:x-section(N A=0.5,θn=15◦);y2:y-section(N A=0.5,θn=15◦). 如图7所示,光学系统(NA=0.174)各空间频率区间内,由光学分界面引入的s光和p光透过/反射系数之比的容许上下限0.9),沿x(Ei方向),y方向,随光学分界面法向倾角θn变化的曲线.当v<0.2NA/λ时(图7(a)),仅在x方向上且倾角θn较大(θn/sin−1N A>1)情况下,有约0.1的解,这意味着s光和p光的透过/反射率之比Dα小于0.01才会使MTF在这个区间内下降至衍射极限的90%以下,但这在实际应用中并不容易出现,因此可以认为v<0.2NA/λ时,Dα的变化对像质是没有显著影响的. 图7随θn变化曲线Fig.7.Cu rves of changed w ithθn. 图7 (b)—图7(d)为在空间频率[0.2NA/λ,0.8NA/λ]内的上下限随θn变化的曲线.在[0,1]方向上随θn下降,但变化速度相对较慢;小角度入射的情况下(θn/sin−1NA<1),容差上限仍然存在正实数解;当大角度入射的情况下(θn/sin−1NA>1),在[1,+∞]方向上的变化对像质没有显著影响.容差范围随光学分界面倾角θn的增大逐渐放宽.如图4,在这些区间内MTF的数值变化可以认为主要是βMM的贡献,因此,的最小范围一般可以表示为 图7 随θn变化曲线(续)Fig.7.Cu rves of changed w ithθn(continued). 图7(e)—图7(j)为空间频率[0.8N A/λ,2N A/λ]的随θn变化的曲线.与图7(b)—图7(d)的情况基本一致,随着倾角θn变大,Dα的容差范围逐渐变大;但在θn相同的情况下,区间相对更小.显然,若要保证高频处的MTF数值不低于阈值则在[0,1]和[1,+∞]两个方向对Dα均需要有更严格的限制;当大角度入射的情况下(θn/sin−1NA>2—3),在[1,+∞]方向上的变化对像质没有显著影响.根据(11)式可知,βTE的变化速度远大于βM,因此高频处的的最小范围一般可以近似表示为 本文依据VPWS理论,建立笛卡尔坐标系下的矢量光学模型,验证了VPWS模型与Debye模型在结论上的一致性.根据平面波谱在光学分界面的传输特性,将光学成像系统的MTF近似为TE分量、TM分量和相关项的线性组合,简化了有关计算和讨论.对光学元件的偏振双向衰减特性对光学成像系统像质的影响进行了理论研究,为相关光学系统的优化设计提供参考. 研究结果表明,在θn/sin−1N A近似的情况下,可以认为s光与p光的反射率/透过率之比Dα对焦平面MTF影响的趋势也基本一致.随着光学分界面法向n和光轴倾角θn增加,容差范围逐渐放宽.这表明对于平面波在光学分界面两侧的连续条件而言,减少沿特定波矢方向k上传输时所引入的正交偏振态差异应当尽量减小入射角;但是,对于光学成像系统聚焦光场的平面波谱而言,增加入射角可以减少TM(p)分量和TE(s)分量的相关性,同时各分量能量之间的比例关系DE也会随之变化,从而达到减少光学系统聚焦特性受光学元件偏振特性影响的目的.而两者间的权衡优化有赖于入射光波长、偏振态以及偏振元件和光学系统的具体设计方案.例如,在上文讨论条件下使用偏振分束器,对于s光光路而言Dα一般趋于∞,如图7所示,此时θn/sin−1NA数值应大于1—3,否则对光学系统MTF数值有不同程度的影响. 在低频处(v<0.2NA/λ),这种影响是可以忽略的.随着空间分辨率的增加,MTF随变化的下降程度逐渐变大.根据(15)式和(16)式,如图7所示,若要求MTF不低于衍射极限数值的则在中频处(0.2NA/λ [1]Yu D Y,Dan H Y 2000 Engineering Optics(Beijing:China Machine Press)p176(in Chinese)[郁道银,淡恒英2000工程光学(北京:机械工业出版社)第176页] [2]Richards B,W olf E 1959 Proc R.Soc.Lon.Ser.A 253 358 [3]Cooper1 IJ,Royl M,Sheppard C J R 2005 Opt.Express 13 1066 [4]Lind lein N,Quabis S,Peschel U,Leuchs G 2007 Opt.Express 15 5827 [5]Pang W B,Cen Z F,Li X T,Q ian W,Shang H B,Xu W C 2012 Acta Phys.Sin.61 234202(in Chinese)[庞武斌,岑兆丰,李晓彤,钱炜,尚红波,徐伟才2012物理学报61 234202] [6]ChipMan R A 1989 Proc.SPIE 861 10 [7]Totzeck M,G raupner P,Heil T,GohnerMeier,D ittMann O,K rahMer D,KaMenov V,Ruoff J,Flagello D 2005 Proc.SPIE 5754 23 [8]Xu X R,Huang W,Xu MF 2015Opt.Express 23 27911 [9]Xu X R,Huang W,Xu MF 2016 Opt.Express 24 4906 [10]Tu Y Y,W ang X Z,Li S K,Cao Y T 2012 Opt.Lett.37 2061 [11]Shen L N,Li S K,W ang X Z,Yan G Y 2015 Acta Opt.Sin.35 0611003(in Chinese)[沈丽娜,李思坤,王向朝,闫观勇2015光学学报35 0611003] [12]Li Y H,Hao X,Shi Z Y,Shuai S J,W ang L 2015 Acta Phys.Sin.64 154214(in Chinese)[李旸晖,郝翔,史召邑,帅少杰,王乐2015物理学报64 154214] [13]Park Y H,Cho Y C,You JW,Park C Y,Yoon H S,Lee SH,Kwon JO,Lee SW 2012 Proc.SPIE 8252 82520X [14]Park Y H,Cho Y C,You JW,Park C Y,Yoon H S,Lee S H,Kwon J O,Lee S W 2013 J.Micro Nanolithogr.MEMS MOEMS 12 023011 [15]Rabinovich W S,Goetz P G,Mahon R,Sw ingen L,Murphy J,Ferraro M,Bu rris H R,Moore C I,Suite M,G ilbreath G C,Binari S 2007 Opt.Eng.46 104001 [16]YaManishi M,Suemune I 1984 Jpn.J.Appl.Phys.23 35 [17]Guo H M,Chen J B,Zhuang S L 2006 Opt.Express 14 2095 [18]MelaMed T 2011 J.Opt.Soc.Am.A 28 401 [19]W ood T H 1988 J.Lightwave Technol.6 743 [20]K an Y,Nagai H,YaManishi M,SueMune I 1988 IEEE J.Quan tuME lectron.23 2167 [21]GoodMan 1968 In troduction to Fourier Optics(New York:McG raw-Hill)p98 [22]Na B H,Ju G W,Choi H J,Cho Chu l Yong,Park Y H,Park C Y,Lee Y T 2012 Opt.Express 20 19511 [23]Na B H,Ju G W,Choi H J,Cho Y C,Park Y H,Lee Y T 2012 Opt.Express 20 6003 (Received 12 October 2016;revised Manuscrip t received 18 January 2017) PACS:42.25.–p,42.15.Fr,42.30.Lr,42.79.HpDOI:10.7498/aps.66.084202 *Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11274377)and the State Major Research EquipMent Pro ject,China(G rant No.ZDY 2011-2). †Corresponding author.E-Mail:m_rzhang@163.com A nalysis of the in fl uence of d iattenuation on op tical iMaging systeMby using the theory of vector p lane w ave spectrum∗ Zhang Min-Rui1)2)†He Zheng-Quan1)Wang Tao1)Tian Jin-Shou1) 1)(X i’an Institu te ofOptics and Precision Mechanics of Chinese AcadeMy of Sciences,X i’an 710119,China)2)(University of Chinese AcadeMy of Sciences,Beijing 100049,China) In most of the researches of polarization aberration,the in fluence of diattenuation is not large enough to aff ect iMaging quality evidently.However,the Modulation transfer function decreases when op tical eleMents w ith coMp lex p lanar dielectric structures and low transMittance,such as beam-sp litter and opticalModulator,are introduced into an imaging system.In this paper,a vector opticalmodel in Descartes coordinate systeMis proposed based on the concept of vector p lanewave spectrum(VPW S).The resu lts of calculation show that the VPW SModel is consistent w ith Debye model.CoMpared w ith Debye vector diff raction integral,the VPW Smethod ismore suitable to the descrip tion of the PA introduced by p lanar op tical device w ith opaqueMask,such as larger surface quantum-confined-stark-eff ect electroabsorption Modulator,which is used to Modu late the light collected by optical antenna of tiMe-of-fl ight(TOF)dep th systeMor modu lating-retroreflector free-space-optical communication system.In order to siMp lify the calculation and obtain the conclusion of the change in iMaging quality directly,the formula of optical transfer function is decoMposed into three parts(TE coMponent,TMcoMponent and the correlation of them)instead of polynoMial expansion of pupil function.The influences of diattenuation on MTF is studied globally and locally in a range of cut-off frequency of op tical iMaging system(2N A/λ).A llowance of diattenuation is analysed by nuMerical calcu lation,and aMatheMatical exp ression is derived.The result shows that the change of diattenuation can be neglected when the spatial frequency v is less than 0.2NA/λ,and the range of allowance decreasesw ith the increase of spatial frequency.According to numerical calculation shown in Fig.7 and the derived formulas(15)and(16),the ratios of reflection/transMission coeffi cient of s-light and p-lightshould range respectively froM0.63 to 1.6(0.2NA/λ vector optics,polarization aberration,modulation transfer function 10.7498/aps.66.084202 ∗国家自然科学基金(批准号:11274377)和财政部重大科研装备仪器项目(批准号:ZDY 2011-2)资助的课题. †通信作者.E-Mail:m_rzhang@163.com ©2017中国物理学会C h inese P hysica l Society http://w u lixb.iphy.ac.cn
3 计算与讨论
4 结论
