基于学生认知的小学数学习题设置

在数学教学中，我们往往精心设计学生认知过程的前半段：创设情境、提出问题、分组探究、汇报归纳，直至有所发现，这是从感性到理性的认识过程。但是，认知过程还有理性认识的加深，并反作用于实践的后半段过程，表现为练习巩固、反思总结、变式应用、提炼成数学思想方法等，这是培养能力、开拓思维、熟练技能的过程，也是发挥习题设置功效的部分。如何让习题更好地发挥完善、补充学生认知的功能？下面我们从内容选择、结构设置与价值定位等方面来阐述相关的理解。

一、内容选择的策略

从学生的认知发展角度而言，学生学习数学的过程，首先是一个把教材的知识结构转化成自己的数学认知结构的过程。新知识学习中，学生虽然能形成新的数学认知结构，但这种结构尚处于一种不稳定状态，还需要通过练习来充实、完善和稳定这种结构。因此，必须对应于新知识教学目标来设计练习题。我们可以从“知识点”“易错处”“变式题”这三个方面进行内容的选择。

1.从知识点入手

数学知识是发展数学能力的客观基础和必要前提，但是这并不是说学生掌握了数学知识就必然会形成相应的数学能力，能力通过技能训练逐步发展。因此，习题内容设置要尽可能地突出数学本质内涵。

在数概念的认识教学中，人教版教材修订后改变了只用相邻计算单位理解数概念，倡导用不同的计数单位进行表征，从本质上促进对数的理解。二年级下册P77“千以内数的认识”例3的内容重点落在以计数单位进行数数，难点是一千里有多少个十。教材借助1 000个小彩点积累数数的经验。如何更好地丰富数概念的表征呢？

（1）动态中数数、换数。通过设置彩点和计数结果之间的一条竖线，在竖线的不断移动中，丰厚量的累积，并借助具体量的累积，感知不同单位表征的共性，从而形象化地理解“千”与“百”，“千”与“十”之间的隔位进位关系。

（2）借助结构化材料理解“千”与“十”之间的关系。以“百”“十”“一”为单位的人民币是很好的结构化计数材料，练习中依次出示跟“个”“十”“百”数位相对应的人民币面值，分别写出230元、1000元等。进一步激发学生思考：如果将10张面值百元的人民币换成10元的，又可以换多少张？借助结构化材料的动态呈现，再现以“十”计数，沟通“千”与“十”之间的关系。在深入解读教材提供的学习素材的基础上，需要对知识难点中的内容进行再加工、再渗透、再强化。

2.在易错处着眼

学生是有差异的，在习题设置的时候不仅要关注重难点，更要关注学生的差异点。如小数的加减法中，小数点对齐后进行计算是教学的重点，但易错点是计算的无意注意对有意注意的干扰，以及运算方法之间的混淆。如口算5+2.5，2.4+0.21，4.5+0.9，

2-0.8，0.64-0.4；笔算10.84+1.6，10-0.52，10.25+7.5等，都是学生模梭两可、模糊不清的难点。预设学生易错处的辨析，可以使習题的价值最大化。

3.以变式题呈现

“知识不求全，求联；知识不求多，求变。”[1]联接，意味着能融合贯通，在网络联接中建立概念意象，或灵活应用知识解决问题；变式，意味着虽然有外在非本质特征的干扰，但学生仍然能抽象本质属性解释应用。所以，设置练习时不仅要关注知识点上的对应联接，还应关注题组设置变化后的本质。设置时应当选取对新课内容有所深化，与学生独立练习的题目似是而非的典型题组，目的是深刻理解新知识的本质属性，在“求同”的基础上“求异”。

（1）举一反三。习题设置中，舍去目标的泡沫、内容的繁重、形式的玄虚，在“变”的基础上突显“不变”——数学的结构本质，引导学生对数学学习中的素材、方法、技巧等进行反思、联想，才能促进数学思想方法的提升，从而培养学生思维的深刻性与灵活性。如解方程：6x+30= 48，学生计算原题后，进行如下变式：①6x+5×6=48；②6x+15x=48；③6（x+5）=48（用两种方法解答）；④18+6x+12=48，得到方程的解之后抽象方法：这些方程与6x+30= 48比，有什么相同和不同？进一步拓展：王老师买3个皮球，每个6元，沙袋2个，每个15元，共花去48元钱。请以其中一个信息为未知数，编题列方程。

（2）举三反一。举三反一是对一类事物的本质属性进行归纳概括，对于完善学生的认知结构同样重要。仍以解方程为例：

① 一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少？（4x=60）

② 一辆摩托车4小时行驶60千米，平均每小时行多少千米？（4x=60）

③ 甲筐有桔子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有桔子多少千克？（4x=60）

抽象理解：因为上述三题的数量关系相同，所以方程也相同。着重理解第三题逆向的方程设置。然后进一步跟进拓展：

①甲筐有桔子60千克，是乙筐的4倍还多4千克，乙筐有桔子多少千克？

②甲筐有桔子60千克，是乙筐一半少4千克，乙筐有桔子多少千克？

把各种对象和现象加以比较，确定它们的相同点、不同点及其关系。在学生经历了“变”的探究活动后，还需要对比体悟其中的“不变”，以此来整理知识、提高技能、提升思维。

二、结构设置的策略

数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解[2]。

1.关注知识序，以逻辑生长建立网络结构

以学生为主体的数学活动，是一个不断打破原有认知结构的平衡，发生同化或顺应，组建新的认知结构的过程。学生的认知序在结构化的整体教学中更容易得到迁移和发展。

（1）以“类” 关注知识的纵向发展。数学知识有螺旋上升的过程，习题的设置应尽可能地依据这种序列或补充或改进，以促进学生的认知迁移。如在大数的认识学习后进行大数的改写和省略教学，比较“改写”和“省略”的区别，使学生明晰改写是原数大小不变，表示形式变化；而省略是改变原数的大小。对“省略923456000亿后面的数”这一习题，改成知识序上的对应链接：

①一个数，省略亿后面的尾数是9亿，这个数最大是多少，最小又是多少？

②一个数，省略万后面的尾数是9万，这个数最大是多少，最小又是多少？

比较①②两题，进行方法总结迁移。这样的整数逆推直接承接后续小数的近似数，如：“一个两位小数，保留一位小数得到9.0，这个两位小数最大是多少，最小又是多少？”但整数的省略要比小数来得更直观，所以从整数拓展比较合适，从序上进行前位知识和后位知识的关注拓展，能够较好地促进学生的经验迁移。

（2）以“序” 弥补编排体系的缺陷。在研究教材的过程中，教师可能会发现有些关联内容教材里或有淡化，或有失联。如教学“用乘法口诀求商”的过程中，有心的教师会在新课后发现，同一句口诀“四七二十八”，用在28÷4要比28÷7要慢一些，容易出错些。这是因为人教版教材学习口诀时编排的是“小九九”，口诀“四七二十八”是编排在7的乘法口诀里学习的，所以对于28和7的关联要比28和4的关联强度大一些[3]。对此，教师在教完口诀后就可以有意识地背背“大九九”，练习时关注商比除数大的除法，以弥补教材编排引起的学生学习上的困难。

2.关注认知序，以经验改造顺应知识生长

数学具有很强的学科性，有其内在的有序性，学生的认知规律也是一个由低层次知识变为高层次知识的有序过程，关注学生的认知序，更有利于学生对新知识进行完善和细化。

（1）转化负迁移。学生的思维是条不见底的小河。学生学了面积后，就容易与周长的练习相混淆；

会口算48÷2=24后就喜欢直接笔算除法（图1）。錯误有的是因为认知结构上的负迁移而起，有的是因为习题不能有效激发学生的认知冲突而起。

（2）体现个体差异。认知经验的积累是要有体验为基础的，但不是所有学生的体验过程都能同步跟进。因此，若能设置在练习过程中体现学生认知差异的习题，那定是为他们所欢迎的。如分数除法练习中，感知“一个数除以比1大的数，商比原数小；一个数除以比1小的数，商比原数大的规律”。出示图2所示各题：

第一层次：不计算，猜一猜哪几道题的商大于被除数，哪几道题的商小于被除数？ （学生独立分类）

第二层次：你的分类对吗？可以怎样来检验一下？ （计算出结果）

第三层次：经过计算，你觉得需要对你开始的分类改一改吗？ （学生根据结果调整）

第四层次：交流商大于或小于被除数的分别有哪几个算式？

第五层次：商跟被除数之间的关系有规律吗？

这样的习题设置，关注了不同层次的学生，擅长抽象思维的可以在第一层就根据规律进行判断，大部分学生在经历感觉上的猜，再通过自主计算调整分类结果，从而感知规律。而抽象能力差的学生可能还需要在交流结果时对应他人的经验，反思自我的经验，从而理解规律。这样的习题设置有利于差异资源的利用，体现了不同层次的学生得到不同的发展。

三、价值定位的策略

习题的编拟过程中应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地巩固知识、熟练技能、积累经验、渗透后续知识。

1.熟练技能与渗透思想方法相融合

选择不仅能涵盖练习的相关知识点，还需要有连点成线、连线成网的多功能练习。通过综合的、多维度的练习设计，梳理、串联、综合运用知识，从而充实、完善、稳定学生的认知结构，最终为学生思维的整体推进提供平台。

2.巩固知识与积累活动经验相协调

活动经验的积累不仅包括操作性经验，也包括反思性经验。在练习中通过学生的独立思考再验证，从而丰厚学生的反思性经验，这对学生的思维深度和广度要求更高。因此，设置既能巩固知识又能让学生在实践验证中得到亲身体验的练习，对学生的抽象思维发展和知识的有效迁移是很有帮助的。

3.解题活动与激发兴趣相一致

当然，兴趣是最好的老师，尤其是练习的设计。关注触及学生兴奋点的习题，枯燥的学习就会变成好玩的活动。可以有材料激趣、形式激趣、内容激趣、认知冲突激趣等。如“7的乘法口诀”新课教学后的练习，既要巩固口诀练习，又要在形成技能熟练计算的同时积累经验，理解口诀的含义。除了常见的对口令、看题计算外，选择材料时我们还应关注熟练技能和网络构建的多重功能。

数学的概念是将现实情境逐渐剥离从而实现抽象，探究新知识是建模的过程，而练习则是将抽象的概念赋予现实情境逐渐丰厚相关的活动经验。不仅能熟练技能，而且能合理应用；不仅能抽象建模，而且能迁移类推。设置时我们既要关注学生的认知特征和教材的逻辑体系，又要关注学习材料的新颖性、适切性和合理性。当然，从习题呈现的形式而言，我们仍要关注动静结合、课内巩固和课外拓展结合、统一要求和自主作业结合、先预后教和先教后练结合等方式，以促进学生的数学理解。

参考文献

[1] 郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：凤凰教育出版社，2013.

[2] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 张优幼.关注粗心背后的数学事实[J].小学数学教师，2010.（1-2）.

[责任编辑：陈国庆]