亲历过程??建立模型

陈丽娟

“圆环的面积”是人教版第十一册第五单元的知识，主要目标是：让学生认识圆环，了解并掌握圆环的特征和圆环面积的计算方法。教材的例题极其简单（如图1所示）：

我看到这个例题的第一个想法是太简单了，不就是用外圆面积减去内圆面积求出圆环的面积？可是越深入备课越能领会新课程的理念：思想比公式更重要，建模比计算更重要。以往我们的课堂重在知识的传授、技能的训练，忽视了数学思想实质。本节课我们不应将会计算圆环面积作为终极目标，而要引导学生在掌握圆环面积计算方法的基础上，深度思考，使学生感受到知识之间的内在联系，领悟数学模型之妙。鉴于学生在实际生活中对环形已有大量的接触，但对圆环的形成过程甚少感悟；学生对计算圆环面积能够尽快掌握，却对以此类教学模型解决实际问题不能运用自如，因此我进行了教学设计与实践。下面我结合“圆环的面积”的教学实践，谈谈如何引导亲历过程，建立模型。

一、欣赏图片，初步感知身边的圆环

课程改革以来，大家越来越强调让学生亲身经历实践活动，通过认知、体验、感悟，获得新知、技能和方法。本课一开始，我用课件逐一展示现实生活中的图片（如图2所示）：

课前教师收集了一些图片，请看，这是……

看来圆环在生活中随处可见。

通过直观展示图片唤起了孩子对“圆环”已有的经验，让学生感受在生活中到处都能接触到圆环，将抽象的“圆环”文字变成了看得見的形象，积累这方面的经验，可以帮助学生更好地理解概念、建构知识。

二、动手操作，亲历圆环概念的形成过程

数学新理念强调：在知识的学习过程中，应有亲身体验，只有亲身经历概念的形成过程，所学知识才能理解透彻并灵活运用。因此，我注重引导学生动手操作，亲历圆环概念的形成过程，在认识圆环的环节中给学生提供了自己创作圆环的空间，亲历圆环这个图形的形成过程，初步感悟圆环的特点就是两个同心圆，从外圆中减去内圆，剩下的部分形状就是圆环。

我一方面提供给每个学生一个圆形纸片，请学生猜它的半径，口述这个圆的面积算式，培养学生估测意识与能力，并复习本节课的基础圆的面积计算方法。

我另一方面引导学生动手操作：剪出圆环：以O为圆心，在圆形纸片上画半径为整厘米的小圆，剪掉内圆，剩下的这个部分形状是什么？（圆环，环形）思考：这个圆环是如何形成的？由于体验了环形“再创造”的整个过程，学生能轻松自如地理解了“大圆中去掉小圆的面积就是圆环”。下一个环节“求圆环的面积”对学生来说便水到渠成。

三、直观探究，经历计算圆环面积的全过程

荷兰数学家弗赖登塔尔认为：数学学习应该由学生把自己要学习的东西自己去发现或创造出来，只有实行再创造获得的知识才能真正被掌握，被灵活运用。我长期的教学经验积累确实反映了这一现实：学生如果被动地接受学习内容，他对学习的内容就难以真正理解，更谈不上灵活运用了。

在学生自己创作出圆环的基础上，我把三个不同的圆环用磁铁粘在黑板上，问：这是同学剪的圆环，你认为哪个圆环面积大？

学生猜测：小圆半径小的圆环大；第三个圆环面积大……

老师：用事实数据来说话，请算出你手中圆环的面积。

学生独立计算出自己手中圆环的面积并展示结果，有以下三种情况（如图3所示）：

紧接着我引导学生观察思考：请看这三个算式，你发现了吗？求圆环面积都是用……？（外圆面积减内圆面积得到圆环的面积。）

我继续引导学生更深层次的思考：既然都用外圆面积减内圆面积得到圆环的面积。那为什么我们计算出来的圆环面积最后结果不一样？有的学生说挖去的小圆面积小，所以圆环面积大；有的学生认为第三个的环宽最大，所以圆环面积最大。这时老师顺势出示了学生的错例：3.14×（4-3）2=3.14（平方厘米）。

教学内容传达给教师的是一道道例题、一个个知识点，我们要领会教材内涵，依据课堂学生的实际学习情况，找到知识的生长点与发展点，引导学生自己思考、探索，在经历、感受中体验着知识的建构过程。教学中，发现求圆环的面积时部分学生会用π乘环宽的平方，怎样让学生理解这种方法的错误呢？我设计了常见的环宽相等的箭靶（如图4所示），直观感知、并提供数据计算不同环的面积，对比发现明明每一环大小不一样，如果用3.14乘环宽的平方求圆环的面积所有结果却都相等，从而证明这是不可行的，圆环的面积只能是外圆面积减内圆面积。并且解释了在赛场上射中不同环的得分不一样的原因。

这样引导学生参与计算圆环面积的全过程，在活动中体验，在对比中思考，在思考中领悟掌握知识，学习活动慢慢内化成学生的心智活动，学生学习有动力有创造，思维得到发展，数学思想方法得以渗透。

四、拓展延伸，构建求组合图形面积的一般模型

教学过程中，我们还要注重对学生的感性体验适时地进行概括和提升，促进学生方法掌握。在学生理解掌握了圆环的概念、圆环面积的计算之后，我们要针对这类图形建构数学模型，掌握这类图形的解题策略。

本课最后的拓展延伸，以课件形式逐一展示下列图形，让学生口述每个图形阴影部分面积的计算方法，并归纳总结计算方法的相同之处（如图5所示）。

以上题目虽然不是圆环的面积，但求这样的两个图形之间阴影部分的面积都可以运用“外面图形面积—里面图形面积”这一模型进行解答，拓展了计算组合图形面积的一般方法，成功地构建数学模型。之后我们用数学模型来解决生活中的实际问题，以实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”，也就是在“学”与“用”之间为学生搭建起了一座无形的桥梁，学生解答数学问题才能得心应手，感受数学思想方法的无限魅力。

本节课通过让学生观察生活中的圆环、动手创作圆环、探究圆环的面积计算方法，最后延伸到计算组合图形面积的一般方法，一步一步引导学生经历了知识形成的过程，将知识进行内化，不断完善。也许圆环的面积这个知识很浅，但我们要教得厚实，让学生在经历再创造的过程中感受建模的力量。

（作者单位：福建省莆田市荔城区梅峰小学 ）