一道三角有理函数不定积分的多种解法

郭竹梅

（安徽科技学院 信息与网络工程学院，安徽 凤阳 233100）

一道三角有理函数不定积分的多种解法

郭竹梅

（安徽科技学院 信息与网络工程学院，安徽 凤阳 233100）

三角有理函数的不定积分是高等数学中常见的一种积分类型，其计算方法灵活多变。一题多解训练是引导学生用不同的方法去解答同一道数学题的练习活动。通过一道三角有理函数不定积分的多种解法，同学们既拓宽了解题思路、又培养了发散思维。

三角有理函数；不定积分；一题多解

不定积分是高等数学中非常重要的一部分内容，但因其题目类型多，结构复杂，方法灵活多变，给初学者带来很大的困扰。一题多解可以开阔学生的思路，帮助学生掌握知识的纵横联系，此方法特别适合用于不定积分的教学。近来，已有不少学者作了此方面的研究[1-4]，本文着重介绍一道三角有理函数不定积分的多种解法，为广大学者提供参考。

1 不定积分的多种解法

初学者一看到三角有理函数积分，首先会想到万能代换，但此题直接用万能代换很麻烦，可以先利用三角函数等式化简，再利用万能代换，见解法1：

解法1：

由于三角等式的应用非常灵活，所以对于三角有理函数积分，不一定要把它化成有理函数的积分，见解法2[6]，解法3：

解法2：

根据不定积分题目自身的结构和三角函数之间的化简，得解法5如下：

解法5：由

2 结束语

对于三角有理函数的积分，最基本的方法是万能代换。但是从上述不同的解法我们可以看出，通过三角恒等式，分部积分，变量代换等方法可以更简单地解决问题。同时，通过一题多解，可以启发和引导学生从不同的角度去分析同一道数学题，以达到培养学生发散思维的目的。

[1] 邢秀侠. 不定积分的一题多解[J]. 教育教学论坛，2016（15）：245-246.

[2] 景慧丽. 一道不定积分题的多种解法[J]. 玉溪师范学院学报，2016（4）：24-26.

[3] 于文广，黄玉娟. 不定积分的一题多解研究[J]. 牡丹江教育学院学报，2015（10）：130-131.

[4] 屈娜，陈春梅，杨宝珍. 一道三角有理函数不定积分解法的探讨[J]. 安庆师范学院学报（自然科学版），2014（2）：108-109.

[5] 同济大学数学系.高等数学（上册）[M]. 第七版.北京：高等教育出版社，2016：223.

[6] 彭辉.高等数学辅导（同济·六版 上下册合订）[M]. 济南：山东科学技术出版社，2011：240.

（责任编辑 刘常福）

Multiple Solutions for Indef i nite Integral of a Triangle Rational Function

GUO Zhumei
(School of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Anhui Feng yang 233100, China)

The Integration of triangle rational function is a common integral types in higher mathematics, and its calculation method are flexible. Multiple solutions to a problem training is to guide students to use different methods to solve the same math problem. Through multiple solutions for indef i nite integral of a triangle rational function, students can not only widen their trains of thought, but also foster divergence thinking ability.

triangle rational function; indef i nite integral; multiple solutions

O172.2

A

1674 - 9200（2017）03 - 0038 - 03

2017 - 04 - 12

安徽科技学院教研项目“过程性考核评价教学模式在《高等数学》教学中的应用研究”（X2015065）。

郭竹梅，女，安徽淮北人，安徽科技学院信息与网络工程学院讲师，硕士，主要从事微分方程及其应用、矩阵分析研究。