基于多元表征的极限感知——从“兔子怎样追上乌龟”谈起

浙江台州市椒江区前所中心校 蒋开林

浙江台州市椒江区中山小学 张优幼

基于多元表征的极限感知
——从“兔子怎样追上乌龟”谈起

浙江台州市椒江区前所中心校 蒋开林

浙江台州市椒江区中山小学 张优幼

数学思想方法是数学的灵魂，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。极限思想是近代数学的一种重要思想，在分析问题和解决问题中有着无法替代的作用。小学阶段，可以让学生借助多元表征来感知极限：借助图形表征显性外化，直观感知无限；借助数字表征迁移经验，初次感知极限；借助动作表征动态演绎，孕伏极限思维；通过思维的抽象逆推深化，内化极限思维。

小学数学 思想方法 极限思想 多元表征

曾有学生兴冲冲地跑来告诉我，他有一个惊奇的发现：龟兔赛跑，如果乌龟先跑一会儿，然后再兔子开始跑，不管兔子有多快，永远也追不上乌龟！这激起了我的好奇心，怎么可能，兔子比乌龟跑得快，只要有足够的时间，兔子肯定能超过乌龟，怎么会永远也追不上？虽然第一反应是想给他举个例子，泼一盆冷水，但快到嘴的话，又被我给硬生生地逼回去。该学生思维活跃，平时爱动脑筋，显而易见的错误不会犯。接着，我追问他这乌龟是怎么办到的。

于是，他一边拿起笔来画图，一边说：假如兔子的速度是乌龟的2倍，先让乌龟先跑128米，到达A点。然后兔子再出发，等兔子跑到A点的时候，乌龟在这段时间里已经又跑了64米到B点。等兔子跑到B点的时候，乌龟又前进了32米到C点……（见下表）

兔子0 1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8乌龟1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8 1 1 6 离1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 距1 1 2 4 8 1 1 6

就这样一直下去，每次前进的路程是前一段的一半。虽然兔子离乌龟越来越近，但乌龟总能再往前一点点。从这一点点分析中，学生的思维和结论愈加清晰。如果按照这样的规律无限进行下去，兔子似乎印证了《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，掉进了无限的“陷阱”中，永远也追不上乌龟！解决这样无限的问题，需要让学生充分感知，最终把无限转化为有限，感知极限思想，让兔子能够“追”上乌龟。

一、借助形的形象显性外化

图1

二、借助数的经验迁移感知

无数次的追赶、无数次的逼近，是怎样追上的？解决的方法就像思维深处有一只顽皮的小猫，知道它的存在，却难以捉到。因此，我们可以借助数的经验，通过数字表征，借助0和1的大小比较，在迁移中寻求答案。

图2

借助这次对于数的验证经验，通过迁移让学生感知：那只“兔子”像“0”，那只“乌龟”像“1”，看起来似乎怎么追也追不上，但经验告诉我们“兔子”是有可能追上的！把不可能转化为有可能，这是极限思想的魅力之一。

三、借助直观的操作动态演绎

想跳出“无限”的陷阱，要先跳出思维的陷阱。借助对于“0.=1”的验证经验，我让学生用手指代表0.，随着小数部分的展开，让学生在数轴上指出0.在数轴上的位置。0.9、0.99……学生的指尖不断接近“1”，但又不敢碰到“1”。此时，我让学生展开思维的翅膀，当小数部分展开有无数个9的时候，应该指到哪里？由于学生已经有“0= 1”论证结论，学生最终指向“1”的位置。通过手指的动态演示，让学生感知在无限逼近的瞬间，有可能达到最终目标。

接着，我让学生用折线统计图来表示龟兔赛跑（乌龟的速度是2米/秒，兔子的速度是乌龟的2倍，乌龟先跑1秒，兔子开始出发），学生绘制相应的统计图（如图3）。我让学生分别用两只手的食指代表兔子和乌龟，借助动作表征来动态演绎龟兔赛跑的情境。每一次追逐，兔子不断地逼近乌龟，在第2秒到第3秒之间，学生的动作也越来越慢，演绎着一次又一次的追逐。当指到两条线的交点处，最终兔子终于追上了乌龟。在接近第3秒的一瞬间，隐藏着无数次的追逐。通过这样的动态演绎，把极限的种子孕伏到学生的思维中去。

四、通过思维的逆推内化顿悟

极限思想看似离小学数学很远，但不管是在数与代数，还是在图形与几何、概率和统计中，都蕴含着极限思想。0 到1之间有无数个小数；在圆的面积计算公式的推导过程中，把圆形平均分成无数份，最后能组成一个长方形……小学阶段诸多的“无数个”，都渗透着无限和极限。这有待我们不断挖掘极限的素材，让学生去充分感知。借助图形、数字、动作操作等多元表征，让学生通过直观感知、经验迁移、动态演绎和抽象内化，自主探究、感知极限，孕伏下极限思维的种子。静待花开，小学阶段孕伏的这颗思维种子，也许会在学生今后的数学学习中绽放出极限的魅力。♪

[1]孙国元.对小学数学中极限思想的探讨[J].教育实践与研究(A)，2013(08).

[2]孟兆山.让极限思想生根[J].教育实践与研究(A)，2013(02).

[3]屈佳芬.数学思想在小学数学教学中的渗透[J].教育探索，2015(01).

[4]林梅香.浅谈数形结合思想方法的渗透[J].科教文汇(下旬刊)，2014(01).

[5]张必胜,袁权龙.李善兰极限思想研究[J].贵州大学学报(自然科学版)，2015(03).