线性正则变换在信号处理中的应用

许水清，柴 毅，冯 莉

(重庆大学 自动化学院，重庆 400044)

线性正则变换在信号处理中的应用

许水清，柴 毅，冯 莉

(重庆大学 自动化学院，重庆 400044)

线性正则变换作为Fourier变换和分数阶Fourier变换的广义形式，具有更强的灵活性，在非平稳信号处理中具有独特的优势，已经在信号处理领域引起了广泛的关注。首先阐述了线性正则变换的基本定义与性质，然后着重介绍了在信号处理中的应用，最后对当前线性正则变换在故障诊断中的应用进行了探讨。

线性正则变换；信号处理；故障诊断

线性正则变换(linear canonical transform, LCT)，又被称作为ABCD变换[1]、广义Fresnel变换[2]、扩展分数阶Fourier变换[3]等。相对Fourier变换和分数阶Fourier变换，LCT具有3个自由参数，使得传统Fourier变换域和分数阶Fourier变换域的非带限信号可能为某个参数下LCT域的带限信号。并且使LCT可以看作时频平面上的仿射变换关系，这种关系与分数阶Fourier变换在时频面上的旋转关系相比，不仅包括旋转关系，还包括压缩和拉伸等关系，同时在时频平面上的总支撑域保持不变[1]。因此LCT具有更多的灵活性，在信号处理领域具有强大的潜力。

早在20世纪70年代，LCT由Monshinsky和Collins[1-2]分别提出，与分数阶Fourier变换一样，LCT最初也是被应用到微分方程求解和光学系统中[3]。 随着分数阶Fourier变换在信号处理领域中的广泛应用，LCT在信号处理中的应用也逐渐引起国内外学者的重视，并在国内外顶级期刊《IEEE Transactions on Signal Processing》和《电子学报》等发表了一系列高水平论文。其中具有代表性的有：Barshan等[4]在1997年首次讨论了LCT域的最优滤波器的设计问题；其后，Pei等[5]从2002年起先后探讨了LCT的特征值、特征函数、二维LCT以及在时频分析上的应用；Hennelly，Healy和Ozaktas等[6-8]从2005年起关注了离散LCT及其快速计算问题，提出了LCT的快速算法；而Stern[9-10]则在2006年首次研究了LCT域信号的采样问题。

在国内，虽然对LCT的研究相对较晚，但许多专家学者从不同角度对LCT进行了深入的研究，成果各具特色。北京理工大学的陶然和李炳照等[11-12]在2006年首次在国内期刊上介绍了LCT，并对LCT的卷积定理、框架理论和采样理论等进行了深入的研究；西安电子科技大学的魏德运等[13-15]则关注LCT域的多通道采样理论以及在图像超分辨率上的应用；哈尔滨工业大学的史军等[16-18]关注LCT域不确定性原理和不受带宽限制的采样定理等；电子科技大学的向强等[19-20]主要研究LCT与模糊函数、Winger分布等时频分布之间的关系；四川大学的张志超等[21-22]主要研究基于LCT域的新的时频分布，如LCT域模糊函数、Gabor变换等。此外，徐冠雷[23]、赵辉[24-25]、柴毅[26-30]等知名学者也在各自的研究成果中体现对LCT的重视和探索。

国内外专家学者的研究成果极大地推动了LCT理论体系的发展与完善，展现了LCT在信号处理领域强大的作用与潜力。在此基础上，以LCT在信号处理领域的应用为主线，阐述LCT的基本性质、LCT域算子与变换、离散LCT及其快速算法等一系列最新理论成果，描述了LCT在信号处理中的国内外最新研究进展，探讨LCT目前存在的问题，展望未来的研究热点与难点。

1 线性正则变换

1.1 线性正则变换的定义

(1)

(2)

1.2 线性正则域算子与变换

LCT作为一个统一的时频分析工具，其在时频平面上的仿射变换具有强大的灵活性。因此许多专家学者定义了一些有用的LCT域算子与变换, 为LCT域信号的分析与处理提供了有力支撑。

LCT域算子是指在LCT体系下的信号分析运算算子，如LCT域卷积与相关等。卷积和相关是两个重要的基础概念，已经在传统Fourier域信号处理系统、图像处理以及模式识别等领域得到了广泛的应用与研究。作为传统Fourier变换的进一步推广，文献[31]根据LCT与Fourier变换的关系提出了LCT域卷积定理。除了这种LCT域卷积与相关算子，许多学者从不同的角度提出了不同形式的LCT域卷积与相关算子[15,32-33]。

LCT域变换是指在LCT基础上得到的新的信号分析工具，主要是传统Fourier体系下的信号分析工具扩展到LCT域。目前许多专家学者从不同的角度研究了LCT域Hilbert变换[34]、LCT域Winger分布[35]、LCT域模糊函数[36]、LCT域正弦与余弦变换[37]、LCT域哈利特变换[37]、LCT域Gabor变换[38]、LCT域小波包变换[39]以及短时LCT[40]等，这些变换丰富了LCT的理论体系并提供了新的信号处理与分析方法，在信号处理中具有重要的应用。

1.3 离散线性正则变换与快速算法

离散化方法和快速算法是LCT能否在实际工程广泛应用的关键。由LCT的定义可知，相比传统的Fourier变换，LCT具有3个自由参数，更加灵活同时也更加复杂，这给LCT的离散化方法和快速算法的带来了具大的挑战性与困难，一直是LCT研究领域的热点与难点。

理想的离散线性正则变换不仅能够保留连续LCT的性质，还应该具有较低的计算复杂度。类似离散Fourier变换的思想和方法，文献[41]首先通过对连续信号进行采样得到采样信号，对采样信号进行LCT变换，定义了离散线性正则变换。这种离散化算法虽然是最简单的，但却丢失了LCT的酉变换性质。为了弥补以上不足，文献[42]首先对输入输出信号进行采样，并通过限定输入输出采样间隔来获得新的离散线性正则变换。除了以上两种采样型离散线性正则变换外，Oktem等[8]提出一种与信号采样周期无关的离散线性正则变换，这种定义形式下的离散线性正则变换在不知道连续信号的采样间隔的情况下具有一定的优势。

在实际工程应用中，低运算量的快速算法是一个变换方法在实际工程中广泛应用的关键。正如快速Fourier变换极大地推动了Fourier变换在工程中的应用一样，LCT的快速算法将是LCT在实际工程领域成功应用的关键。由LCT的定义可知，一个长度为N的离散序列，直接积分计算的算法复杂度为O(N2)，而不是类似快速Fourier变换算法的O(NlogN)，给LCT在实际工程中的广泛应用带来巨大的挑战。近年来，国内外学者提出了多种LCT的快速算法，主要有基于离散线性正则变换的快速算法[43]、分解型快速算法[44-45]、混合型快速算法[46]。除了以上三种类型的快速算法，还有基于特征函数的快速算法[47]、基于Hermite多项式的快速算法[48]等。这些数值计算方法给LCT的快速算法提供了新的思路，为LCT在实际工程中的广泛应用提供了基础。

2 线性正则变换在信号处理中的应用

近年来，LCT理论体系得到不断完善，在信号处理中的应用也逐渐展开。然而由于LCT的研究尚处于起步阶段，LCT在信号处理中的应用还没有分数阶Fourier变换那么广泛。目前，LCT已经被应用在信号处理、光学、解微分方程等领域(图1)，本文主要介绍LCT在采样、滤波、信号检测、时频分析等信号处理中的应用。

1) 信号调制

在传统信号处理中，信号的调制是建立在Fourier变换的基础上，但当信号在频域为非带限信号，而在LCT域为带限信号时，利用LCT进行信号调制往往能够取得更理想的效果。文献[5]介绍了线性正则域信号的调制过程，首先选取合适的LCT参数(a,b,c,d)，使输入信号gn(t)为线性正则域带限信号。其次，对输入信号作参数为(-c,-d,a,b)的线性正则变换，得到fn(t)。最后利用传统的调制方法对fn(t)进行调制，得到对输入信号gn(t)的调制。这种基于LCT的信号调制过程，对非平稳信号的调制有独特优势，尤其是对雷达信号和声信号。此外，当输入信号为实信号时，调制过程还可以利用LCT域Hilbert变换来产生LCT域解析信号节省带宽，有利于信号的快速传输[49]。

图1 线性正则变换的应用

2) 瞬时频率估计

信号的瞬时频率估计是现代信号处理中的一个基本问题，在通信、雷达和生物医学等领域起着重要的作用，尤其是非平稳信号的瞬时频率估计一直是研究的热点与难点。文献[50]根据LCT在非平稳信号分析与处理方面的独特优势，提出利用LCT的功率谱和和信号的相位倒数来估计信号的瞬时频率，获得了以下瞬时频率估计公式：

(3)

图2 输入信号的时频分布

3) 线性正则域滤波

作为传统乘性滤波器的进一步推广，文献[31]首先根据LCT域卷积理论，得到LCT域乘性滤波器，滤波器输出为：

mout(t)=LA-1[LA(min(t))·HA(u)]。

(4)

这里HA(u)为滤波器的传递函数，当设计不同的HA(u)时，可以获得不同形式的滤波器，如带通、带阻等。文献[31]进一步介绍了LCT域乘性滤波器能够解决一些传统滤波器不能解决的问题，例如输入信号min(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)，n1(t)和n2(t)为噪声，其时频分布如图2所示。

由其时频分布可以看出，s(t)和噪声在时频面上存在耦合，传统的时频方法不能够将信号很好的分离出来，而由LCT与时频分布之间的关系知，可以利用改变LCT的参数来实现时频平面的分割，即通过两个参数分别为a1/b1=w1/t1,a2/b2=w2/t2的LCT域滤波就可以完全去掉噪声，获得原信号s(t)。文献[32]等基于不同的LCT域卷积定义，也研究了LCT域乘性滤波，其实质是一样的。

文献[51]则提出了最小均方误差准则下的LCT域Wiener滤波，假设输入信号x(t)=s(t)+n(t)，令式(4)中的传递函数为

HA(u)=RS,X(u,u)/RX,X(v,v)。

(5)

其中：

(6)

Rsx(t,σ)为s(t)和x(t)的互相关函数，Rxx(t,σ)为x(t)的自相关函数。其思想是通过计算最小均方误差来确定最佳的参数A，然后代入式(5)获得LCT域Wiener滤波的传递函数。由于LCT域Wiener滤波是从信号的相关函数出发获得的，具有更广泛的普适性。此外，文献[52]等也进一步讨论了LCT域多通道滤波器和双通道仿酉滤波器的设计问题，并通过实验证明了基于LCT的滤波器在信号分离与滤波方面的优越性。

4) 在雷达中的应用

根据LCT在处理非平稳信号上的优势，文献[53]介绍了LCT在雷达系统中的应用，首先假设两个球盘A和B之间的距离为D，其半径和区域分布函数分别是RA,RB和FA(x,y),FB(s,h)。然后根据雷达的性质，可以得到FA(x,y)和FB(s,h)之间的关系为：

(7)

其中

(8)

(9)

5) 图像处理

图3 基于LCT的图像加密过程

LCT在图像处理方面的应用主要包括图像的水印与加密、空间移变模式识别和非对称模式识别[5]。分数阶Fourier变换已经广泛应用到图像加密中，由于LCT具有4个参数，因此利用LCT做图像加密比分数阶Fourier变换更有优势，安全度更高。文献[5]提出了一种基于LCT的图像加密算法(如图3所示)。

首先对原始图像数据乘以密钥e1(t)，然后对获得的数据做LCT，其次把得到的LCT在乘以密钥e2(t)来完成加密。解密的过程与加密的过程相反，必须知道e1(t),e2(t)和LCT的参数才能完成解密过程。由于LCT相比分数阶Fourier变换和Fourier变换，具有更多的参数，因此这种加密算法具有更高安全度的加密效果。在上述基本加密算法基础上，文献进一步提出级联多个LCT，使用不同的LCT参数等许多不同的加密算法。类似图像的加密过程，文献[55]提出了一种基于LCT的数字水印算法以更好地提高水印算法的安全性和增加水印的容量。除了在图像加密与水印上的应用，文献[56]等分别进一步研究了把LCT域相关应用到空间移变模式识别和利用LCT域Hilbert变换进行非对称边缘检测，并通过一系列仿真实验验证了LCT在图像处理上的优势。

6) 语音信号分析

语音信号具有非平稳性，其频率是不断发生变化的。常见的语音信号模型有正弦信号模型、Chirp信号模型、AM-FM模型等[57]。由于LCT具有3个自由参数，在处理非平稳信号上具有独特优势，文献[57]在多分量AM-FM的语音信号模型的基础上，提出基于LCT的两种语音信号分析与重构方法。第一种方法是根据AM-FM语音信号模型中的语音信号与干扰的Gauss信号在线性正则域具有不同的能量聚集性质，设计合理的LCT域滤波器滤掉大部分噪声能量，随后利用LCT的逆变换恢复原始语音信号，实现语音信号的去噪。第二种方法是根据AM-FM的语音信号模型具有多分量Chirp模型的形式，在多分量Chirp模型的检测和参数估计中，为了避免强Chirp分量对弱Chirp分量的干扰，首先设置一个门限，利用拟牛顿方法进行思维峰值搜索来获得最大峰值点的记录值。然后可以利用单分量AM-FM模型的检测和参数估计方法检测估计出最强Chirp分量，这样AM-FM模型中的第一强分量能够被重构出来，其后在LCT域设计一个自适应滤波器来滤除最强Chirp分量，并利用LCT的逆变换获得AM-FM模型中的第二强分量，重复以上过程直到检测出的分量低于设置的门限值，恢复原始语音信号。在这两种方法的基础上，文献进一步通过仿真和真实语音信号实验验证了基于LCT的语音信号分析与重构方法比传统的ML方法、PPT方法和Dechirp方法具有更好的效果。

7) 在故障诊断上的应用

图4 电机电流特征分析诊断系统

基于信号处理技术的故障诊断主要是对系统中测得的各种信号进行分析和处理，提取与故障相关的时域特征和频域特征，进行故障诊断[58-59]。LCT作为一种新颖的信号分析工具，在非平稳信号的特征提取中具有独特优势。因此可以通过对信号的LCT域频谱进行谱分析来诊断故障。例如当异步电机发生故障时，其输出的故障谐波往往是非平稳信号，利用LCT在非平稳信号处理上的优势，提出如图4所示的异步电机故障诊断系统，为异步电机的故障诊断提供新的思路。

除了以上介绍的应用，LCT还在采样时刻未知的信号重构、通信系统、GRIN系统等方面具有广泛的应用。例如文献[60]介绍了利用LCT级数来重构采样时刻未知的信号、尤其是非平稳、非Gauss类采样信号；文献[11]介绍了LCT应用于通信信号抗多径效应，能够实现通信领域当中采用传统频域处理不能很好完成的任务。

3 结束语

作为Fourier变换和分数阶Fourier变换的进一步推广形式，LCT具有3个自由参数、灵活性更强，在非平稳信号的分析上具有独特的优势，引起了国内外众多专家学者的关注。本文主要介绍线性正则变换在信号处理中的应用，然而由于线性正则变换的研究起步较晚，线性正则变换在信号分析中的应用还有待进一步研究。例如可以利用线性正则变换与时频分析工具相结合来更加精细刻画故障信号，从而对故障信号进行特征提取，为故障诊断提供新的思路。

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(责任编辑：吕海亮)

Application of Linear Canonical Transform in Signal Processing

XU Shuiqing, CHAI Yi, FENG Li

(College of Automation, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

As a generalization of the Fourier transform and the fraction Fourier transform, the linear canonical transform (LCT) is more flexible and has unique advantages in non-stationary signal processing. It also has

much attention in the field of signal processing. In this paper, the definition and basic properties of LCT were first expounded. Then the applications of LCT in signal processing were focused on. Finally, the application of LCT in fault diagnosis was discussed.

linear canonical transform (LCT); signal processing; fault diagnosis

2017-03-31

国家自然科学基金重点项目(61633005);国家自然科学基金项目(61673076,61374135);重庆市自然科学基金项目(cstc2015jcyjA0480,cstc2016jcyjA1255)

许水清(1991—)，男，安徽太和人，博士研究生，主要从事信号处理、故障诊断研究 柴 毅(1962—)，男，安徽芜湖人，教授，博士生导师，主要从事信息融合、故障诊断研究，本文通信作者. E-mail:chaiyi@cqu.edu.cn

TN929.5

A

1672-3767(2017)05-0043-09

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.05.007