基于均匀面阵的相干信号源二维DOA估计新方法

曹冲，徐熙平，熊春生，王广龙，齐硕

（1.长春理工大学 光电工程学院，长春 130022；2.北京研创达科技有限公司，北京 100086；3.军械工程学院纳米技术与微系统实验室，石家庄 050003）

基于均匀面阵的相干信号源二维DOA估计新方法

曹冲1，2，徐熙平1，熊春生2，王广龙3，齐硕1

（1.长春理工大学 光电工程学院，长春 130022；2.北京研创达科技有限公司，北京 100086；3.军械工程学院纳米技术与微系统实验室，石家庄 050003）

相干信号源的来波方向（Direction of Arrival，DOA）估计问题一直是阵列信号处理技术的一个研究热点。现实环境中的信号源多为相干的，针对此问题提出一种改进的相干信号源二维DOA估计算法。通过对接收信号协方差矩阵进行矩阵重构处理，将采样数据协方差矩阵的秩恢复到等于信号源的个数；对重构的协方差矩阵进行特征分解，构造出信号子空间矩阵和噪声子空间矩阵，将两个子空间矩阵联合构造出新的空间谱函数；基于新的空间谱函数进行二维谱峰搜索，即可估计出多个入射信号的二维DOA。使用计算机软件进行仿真验证，仿真结果表明了所提方法的有效性。

相干信号源；矩阵重构；阵列信号处理；均匀矩形阵列；二维DOA估计

随着电子信息、计算机科学和数字信号处理等技术的快速发展，使用单个传感器进行信号采集已经不能满足科研工作者们的要求。近几年，使用传感器阵列对空间信号源的DOA估计技术越来越受到人们的重视。经过专家学者们多年的研究，目前已有大量的一维DOA估计理论成果。与一维DOA估计相比，二维DOA估计可以同时得到空间信号的方位角与俯仰角，更充分的描述了信号的空间特征，能够实现对空间信号更加精确的定位。目前，空间信号源DOA估计技术已经被广泛的应用于雷达定位［1］、水声工程［2］、卫星通信［3］等重要领域。

由于传播环境的复杂性，信号到达传感器阵列大都会有相干信号源的存在，包括同频干扰或者由于背景物体反射所引起的多径传播信号。相干信号源的存在会导致空间信号协方差矩阵产生秩的亏缺，一般的DOA估计算法，如传统的多重信号分类［4］（MUSIC算法）、利用旋转不变性进行信号参数估计［5］（ESPRIT算法）等信号子空间类算法，已经不能有效的分辨信号源的DOA。

目前，去相干预处理算法主要有两类［6］：一类是降维法，如空间平滑类算法、矩阵重构算法；另一类是非降维处理法，如Toeplitz法。降维法以牺牲阵列有效孔径为代价获得解相干能力，降低了算法的分辨率，而非降维处理法往往会产生较大的估计偏差。

针对传统的MUSIC算法对相干信号源DOA估计性能差的问题，文献［7］提出了一种改进的MUSIC算法，能够在不影响独立信号源测量效果的情况下，有效的对相干信号源的DOA进行测量。在此基础上，文献［6］提出了改进的二维MUSIC算法，实现空间相干信号源的二维DOA估计。文献［8］提出基于特征空间的DOA估计算法，其DOA估计性能在非相关信源情况下优于MUSIC算法［4］，在相干信源情况下由于改进的MUSIC算法［7］。本文在文献［8］的基础上，提出一种基于均匀矩形阵列的相干信源二维DOA估计新方法。仿真验证结果表明，改进算法不影响独立信号源的二维DOA估计，而且相干信源的二维DOA估计性能优于文献［6］所提方法。

1 数据模型

1.1 信号源相关系数定义

由施瓦兹（Schwartz）不等式可知ρij＜1。因此，两个信号间的相关性可定义为：

（1）ρij=0时，si(t)和sj(t)不相关；

（2）0＜ρij＜1时，si(t)和sj(t)部分相关；

（3）ρij=1时，si(t)和sj(t)完全相关。

由式（1）互相关系数的定义可以推出，当空间中有K个相关联的信号入射到阵列，那么K个入射信号在数学模型上表现为复常数系数的差异。则相干信源的数学模型定义为：

式中，ωi表示一个复常数，sk(t)表示生成的远场窄带信号源。本文算法是在远场窄带波的理论基础上推导得出的，所以文中提到的信号源都为远场窄带的。

1.2 阵列接收模型

图1 均匀矩形阵列模型

如图1所示为分布在XOY轴面上的均匀矩形阵列模型图，设平面阵列的阵元数为M×N，X轴向阵元数为M，Y轴向阵元数为N。假设各阵元间的间距为d=λ/2，λ为信号源的波长，θ和φ分别表示入射信号源的俯仰角和方位角。取坐标原点作为阵列的基准点，容易得出第k个入射信号的导向向量为：

式中，m=1,2,⋅⋅⋅,M，n=1,2,⋅⋅⋅,N，(md,nd)为第个阵元的坐标。由于阵列在XOY的轴面上，Zij取0，此处直接省去（3）式中的最后一项。

取

容易得出第k个信号到达X轴上M个阵元的导向向量为：

现将上式推广到K个信号入射X轴上M个阵元的导向矩阵：

同理，可以得到Y轴上N个阵元对应的导向矩阵为：

进而，可以得到K个信号入射到均匀矩形阵的导向矩阵为［10］：

式中，Dn(∗)表示由矩阵(∗)的第n行构造的一个对角矩阵。

由信号模型和导向矩阵就可以得到整个均匀矩形阵列的信号接收模型为

式中，A为（9）式所示的导向矩阵，S(t)为t时刻均匀矩形阵列接收到的信号组成的向量，N(t)为t时刻均匀矩形阵列接收到的噪声组成的向量，可用高斯白噪声表示。X(t)即为t时刻整个均匀矩形阵列接收到的数据。

2 二维DOA估计算法

假设信号为稳定或者短时稳定的独立信号，信号源个数远小于阵元个数，噪声为具有高斯分布特性的随机噪声，则接收数据的协方差矩阵可以表示为：

式中，X(t)为接收数据矩阵，[∗]H表示复数矩阵的共轭转置。RS为信号源的协方差矩阵，σ2为噪声功率，I为单位矩阵，RS与σ2I可分别表示为：

由此可知，接收数据协方差矩阵可以分解成信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵两部分。

2.1 二维MUSIC算法

首先，给出二维均匀矩形阵列的导向矩阵的另一种表示形式［9］：

式中，k=1,2,⋅⋅⋅,K，aX(φk,θk)和aY(φk,θk)是AX和AY的第k个列向量，为克罗内克（Kro⁃necker）积。

实际测量中，接收数据的协方差矩阵用采样数据协方差矩阵代替，则式（11）可表示为

式中，l=1,2,⋅⋅⋅,L，L表示采样数。

对采样数据协方差矩阵RX进行特征分解，可得

式中，ΛS为入射信号源对应的K个大特征值组成的对角阵阵，ES为K个大特征值对应的特征向量组成的矩阵，ΛN为噪声信号对应的MN－K个小特征值组成的对角阵，EN为MN－K个小特征值对应的特征向量组成的矩阵。信号子空间和噪声子空间相互正交，所以ES的方向向量与EN相互正交的，MUSIC算法正是利用这一特性，得到阵列的空间谱函数。二维MUSIC算法的空间谱函数为［11］

2.2 重构解相干原理

当K入射信号中有相干信源存在时，接收数据协方差矩阵会产生秩的亏缺，直接使用传统的二维MUSIC算法将会出现信号源的泄漏。文献［6］中提出利用托普利茨（Toeplitz）性质对接收数据协方差矩阵RX进行矩阵重构，并将重构的协方差矩阵应用到二维MUSIC算法，实验仿真证明重构后的接收数据协方差矩阵能够使传统的二维MUSIC算法在相干信源存在的情况下正常工作。下面给出文献［6］中协方差矩阵的重构原理。

首先，对接收数据矩阵的处理为：

式中，X∗(t)为阵列接收数据矩阵的复数共轭，JI为反对角单位矩阵，其具体形式如下：

它将接收数据矩阵的元素倒置排序。由此可以得到反向阵列自相关矩阵为：

对采样数据协方差矩阵进行重构可得：

将重构后采样数据协方差矩阵进行特征值分解，然后利用二维MUSIC算法空间谱函数进行二维谱峰搜索，即可实现空间相干信号源的二维DOA估计。

2.3 改进的均匀面阵解相干算法

文献［8］中提出了一种基于特征空间的相干信号源DOA估计算法，它充分利用了信号子空间和噪声子空间，在小快拍数和低信噪比的情况下，仍具有较好的性能。本文将其推广到相干信号源的二维DOA估计，下面给出其详细实现原理：

在采样数据协方差矩阵重构解相干的基础上，将RXY进行特征分解，得

式中，ΣS为重构的协方差矩阵特征分解得到的大特征值组成的对角矩阵，为其对应的特征向量组成的矩阵；ΣN为重构的协方差矩阵特征分解得到的小特征值组成的对角矩阵，为其对应的特征向量组成的矩阵。

定义矩阵QS为［8］：

式中，δk=[0 ,⋅⋅⋅,1,0,⋅⋅⋅,0]T为M×1的矢量，第k项元素为1，其他都为0。pk为第k个信号源的功率。定义相干信号二维DOA估计的空间谱函数为

改进算法的计算步骤如下：

（1）根据阵列采样信号矩阵计算出其协方差矩阵RX，再对协方差矩阵进行重构RXY=RX+

（3）根据子空间计算QS=，然后计算

（4）利用改进的二维DOA估计算法PES-2D进行二维的空间谱搜索，通过寻找峰值得到二维DOA的估计值。

3 仿真验证

仿真验证是在MATLAB软件2011b版本上完成的，电脑为64位win7系统的台式机。不同操作系统会导致验证三得出不同仿真结果，所以此处给出软件版本和电脑信息。

验证一：假设无源接收阵列为8×8均匀分布的矩形阵列，阵元间距取信号波长的一半，即d=2/λ。假设空间中有四个相互独立的信号同时入射到阵列，它们的方位角和俯仰角分别为，设置信号频率fc=2KHZ，采样平率fs=10KHZ，快拍数L=50，信噪比SNR=10，噪声为高斯白噪声。分别使用传统的二维MUSIC算法、文献［6］提出的改进的MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法进行验证对比，仿真验证效果如图2、图3和图4所示。

验证二：将验证一中信号源3和信号源4设置为完全相干的信号源，其他设置和假设条件与验证一的相同。分别使用传统的二维MUSIC算法、文献［6］提出的改进的二维MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法进行实验对比，仿真实验效果如图5、图6和图7所示。

验证三：验证条件与验证一的条件相同，使用MATLAB提供的tic函数和toc函数，分别检测传统的二维MUSIC算法、文献［6］提出的改进的二维MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法的运算时间。开始端点设置在采样数据矩阵开始协方差矩阵求解之前，结束端点设置在空间谱函数归一化处理之后，循环运行20次取平均值，得到三种算法的运行时间对比如表1所示。

图2 传统二维MUSIC算法仿真图

图3 改进的二维MUSIC算法仿真图

图4 本文提出的ES-2D-DOA算法仿真图

图5 传统二维MUSIC算法仿真图

图6 改进的二维MUSIC算法仿真图

图7 本文提出的ES-2D-DOA算法仿真图

表1 三种算法运行时间对比表

仿真结果分析：验证一的结果表明，当多个信号同时入射均匀矩形阵列时，三种算法都能正常工作。对比验证一的三个仿真图可以看出，改进的二维MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法的谱峰较传统的二维MSUIC算法尖锐。实验二的结果表明，当多个信号中包含相干信号源时，传统的二维MUSIC算法不能有效的估计出相干信号的二维DOA，但能估计出非相干信号的二维DOA；改进的二维MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法能够有效的估计出相干和非相干信号的二维DOA。对比图6和图7，本文所提出的ES-2D-DOA算法的信号谱峰值要较改进的二维MUSIC算法的信号谱峰值更明显，指向性能更优。验证三的结果表明，改进的二维MUSIC算法和本文提出的ES-2D-DOA算法，都是以增加运算量为代价，达到去相干的目的。

4 结论

空间信号的二维DOA估计已经成为阵列信号处理技术的重点研究对象，针对现实环境中，信号多以弱相干或者全相干的形式存在，提出一种能够有效解相干的空间信号二维DOA估计算法。在利用Toeplitz性质对接收数据协方差矩阵进行矩阵重构之后，将信号子空间和噪声子空间结合，构造出新的空间谱函数，并给出了详细算法步骤。使用MAT⁃LAB仿真软件进行实验仿真，仿真结果表明：本文提出的ES-2D-DOA算法不影响多个独立信号的二维DOA估计性能，同时能够实现相干信号源和独立信号源同时存在时的二维DOA估计。本文算法运算量大，在接下来的工作中还需继续研究改进措施，降低算法的运算量。

［1］ Xiaofei Zhang，LingyunXu，Lei Xu，et al.Direction of departure（DOD）and direction of arrival（DOA）esti⁃mation in MIMO radar with reduced-Dimension MU⁃SIC［J］.IEEE Communicationsletters，December，2010，14（12）：1161-1163.

［2］ 曾雄飞，孙贵青，李宇，等.单矢量水听器的几种DOA估计方法［J］.仪器仪表学报，2012，33（3）：499-507.

［3］ 赵宏伟，刘波，刘恒.用于卫星干扰源定位的压缩感知DOA估计方法［J］.火力与指挥控制，2016，41（10）：25-28.

［4］ Schmidt R O.Multiple emitter location and signal pa⁃rameter specetral estimation［J］.IEEE Trans，1986，3（3）：276-280.

［5］ Roy R，Kailath T.ESPRIT-estimation of signal param⁃eters via rotational invariance techniques［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Process⁃ing，1986，37（7）：984-995.

［6］ 闫康，孙志刚，郭肃丽.一种基于面阵的相干信源DOA估计算法［J］.信号与信息处理，2013，43（10）：22-24.

［7］ UnduD.ModifiedmusicalgorithmforestimatingDOA of signals［J］.Signal Processing，1996，（48）：85-89.

［8］ Zhang X F，Xu D Z.A Novel DOA estimation algo⁃rithm based on eigen space［C］.IEEE International Sym⁃posium on Microwave，Antenna，Propagation，and EMC TechnologiesforWirelessCommunications，2007.

［9］ 石和平.一种基于面阵的相干信源DOA估计算法［D］.天津：天津大学，2015.

［10］ 张小飞，陈华伟，仇小峰.阵列信号处理及MATLAB实现［M］.北京：电子工业出版社，2015.

［11］ 康亚芳，王静，张清泉，等.基于2D-MUSIC算法的DOA估计［J］.海南师范大学学报：自然科学版，2014，27（3）：266-270.

A New Two-dimensional DOA Estimation Algorithm for Coherent Signal Source Based on Uniform Plane Array

CAO Chong1，2，XU Xiping1，XIONG Chunsheng2，WANG Guanglong3，QI Shuo1
（1.School of Optoelectronic Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022；2.Beijing Yan Chuang Da Science and Technology co.，LTD，Beijing 100086；3.Lab of Nanotechnology and Micro-system，College of Mechanical Engineering，Shijiazhuang 050003）

The DOA estimation of coherent signal source has been a research hotspot in array signal processing technology.Be⁃cause of the signal source always is coherent in the real environment，an improved two-dimensional DOA estimation algorithm for coherent signal source is proposed.Recovering the covariance matrix rank of the sampling data to be equal to the number of sig⁃nal source，through reconstructing the covariance matrix of the

signal matrix.Constructing the signal subspace matrix and the noise subspace matrix based on the eigen decomposition of the reconstructed covariance matrix.A new space spectrum function is constructed by the signal subspace matrix and the noise subspace matrix.The two-dimensional DOA of the multiple incident signal source will be estimated，through the two-dimensional peak searching by using the new space spectrum function.The availability of the new space spectrum function is verified by using computer software for experiment simulation.

coherent signal source；matrix reconstruction；array signal processing；uniform rectangular array；2-D DOA Es⁃timation

TP391.9

A

1672-9870（2017）03-0013-05

2017-03-08

曹冲（1989-），男，硕士研究生，E-mail：caochong_2008@126.com

徐熙平（1969-），男，教授，博士生导师，E-mail：xxp@cust.edu.cn